Guía docente de Análisis Matemático I (2671115)

Se recomienda tener cursadas las asignaturas de matemáticas de bachillerato.

• Sucesiones y series.
• Cálculo diferencial e integral en una variable real.

• Conocer y saber aplicar los conceptos fundamentales relativos a sucesiones y series numéricas.
• Conocer e identificar las principales funciones elementales y sus propiedades fundamentales.
• Aprender a calcular límites, derivadas e integrales de una función real de variable real.
• Estudiar extremos relativos de funciones y saberlos utilizar en la resolución de problemas sencillos de optimización.
• Representar funciones y deducir propiedades de una función a partir de su gráfica.
• Modelizar matemáticamente situaciones poco complejas de la física, resolviéndolas con las herramientas propias del Cálculo. En particular aplicar el cálculo integral a la resolución de problemas geométricos y de otros campos.

Capítulo 1. Números reales y complejos

• Tema 1Repaso del número real. Naturales, enteros, racionales e irracionales. Valor absoluto. El principio de inducción. Intervalos y conjuntos destacados.
• Tema 2Números complejos. Forma Cartesiana. Conjugado. Módulo y argumento principal. Representación gráfica. Raíces.
• Tema 3Concepto de función y leyes Físicas. Repaso de las funciones elementales.

Capítulo 2. Sucesiones y series

• Tema 4Definición de sucesión. Propiedades. Sucesiones convergentes. Sucesiones monótonas. Sucesiones parciales. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Sucesiones divergentes. Álgebra de límites. Indeterminaciones.
• Tema 5Series de números reales. Criterios de convergencia para series de términos positivos. Series alternadas. Convergencia absoluta. Suma de series.

Capítulo 3. Funciones. Continuidad y límite

• Tema 6Concepto de límite funcional en un punto y en infinito. Propiedades básicas. Álgebra de límites. Indeterminaciones.
• Tema 7Concepto de continuidad. Propiedades de las funciones continuas. Continuidad en intervalos. Teorema de los ceros de Bolzano.
• Tema 8Compacidad y Teorema de Weierstrass.

Capítulo 4. Cálculo diferencial

• Tema 9Tangente a una curva y velocidad instantánea. Derivadas. Derivadas laterales. Reglas de derivación.
• Tema 10Teorema de Rolle. Teorema del valor medio. Reglas de L’Hôpital.
• Tema 11Derivadas de orden superior. Polinomios de Taylor. Teorema de Taylor. Extremos relativos. Concavidad y convexidad. Optimización.
• Tema 12Series de potencias. Radio de convergencia. Derivación de una serie de potencias.

Capítulo 5. Cálculo integral

• Tema 13Integral de Riemann. Propiedades. Condiciones suficientes de integrabilidad.
• Tema 14Teorema Fundamental del Cálculo. Regla de Barrow. Integrales impropias. Funciones definidas por integrales.
• Tema 15Métodos de integración. Cálculo de áreas. Longitud de arco. Sólidos de revolución: área y volumen. Aplicaciones a la Física.

1. Resolver desigualdades sencillas entre números reales.
2. Hacer cálculos algebraicos con números complejos. Calcular raíces complejas.
3. Aplicar los teoremas de Bolzano y de Rolle para estudiar ceros de funciones.
4. Usar derivadas para probar desigualdades entre funciones.
5. Representar gráficamente una función determinando los intervalos de monotonía, concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas.
6. Usar derivadas para calcular extremos relativos y absolutos de funciones de una variable.
7. Usar los polinomios de Taylor para calcular valores aproximados de una función en un punto con una cierta cota de error.
8. Usar las reglas de L’Hôpital o los polinomios de Taylor para calcular límites funcionales.
9. Estudiar la convergencia de sucesiones monótonas. El número e.
10. Estudiar la convergencia de series de términos positivos y de series alternadas usando los criterios más usuales.
11. Sumar series de potencias sencillas y obtener los desarrollos en serie de potencias de algunas funciones elementales.
12. Calcular primitivas de funciones elementales.
13. Calcular áreas planas, longitudes de curvas y volúmenes de cuerpos de revolución con integrales.
14. Estudiar funciones definidas usando el Teorema Fundamental del Cálculo.
15. Estudiar la convergencia de integrales impropias sencillas y calcularlas.

• ALAMINOS, J.: Cálculo, Texto que puede descargarse en: https://www.ugr.es/~alaminos/resources/Apuntes/matematicas.pdf
• ALAMINOS, J., APARICIO, C., EXTREMERA, J., MUÑOZ, P., y VILLENA, A. R. Cálculo.. Ediciones Electrolibris. 2014.
• LARSON, R., HOSTELER R.P. Y EDWARDS, B.H.: Cálculo(2 volúmenes). Séptima edición. Ediciones Pirámide, 2002.
• MIGUEL DE GUZMÁN y BALDOMERO RUBIO. Análisis Matemático 1 y 2. Ediciones Pirámide. 1990.
• PÉREZ GONZÁLEZ, J.: Cálculo Diferencial e Integral de Funciones de una variable. Texto que puede descargarse en: http://www.ugr.es/~fjperez/textos/calculo_diferencial_integral_func_una_var.pdf
• ZILL, D.G., WRIGHT, W.S. y IBARRA, J. Matemáticas 1. Cálculo Diferencial. McGraw Hill Education, 2015.
• ZILL, D.G., WRIGHT, W.S. y IBARRA, J. Matemáticas 2. Cálculo Integral. McGraw Hill Education, 2015.

• S.K. BERBERIAN. A First Course in Real Analysis. Springer-Verlag, New York, 1994.
• M. SPIVAK. Cálculo Infinitesimal. 2ª Edición. Reverté, Barcelona 1992.

• http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/calcuI.html(ejercicios y exámenes por el profesor Fernando Chamizo de la Universidad Autónoma de Madrid).

• MD01. Lección magistral/expositiva 

Con carácter general, la asistencia a clase es voluntaria, sin que ello sea óbice para el sistema de evaluación descrito a continuación.

Los estudiantes podrán acogerse, con carácter voluntario, a un sistema de evaluación continua basado en los siguientes criterios:

- Asistencia y participación activa en las sesiones de clases teóricas y prácticas.

- Participación en las sesiones de tutoría individual y/o colectiva.

- Dos pruebas escritas de corta duración, de carácter teórico y práctico.

El resultado de este proceso de evaluación continua proporcionará una calificación. También habrá una prueba final ( examen final) , sobre todo el contenido de la asignatura, que consistirá en distintas pruebas de carácter teórico y práctico.

La calificación final se obtiene como la media ponderada entre la calificación obtenida en el proceso de evaluación continua (40% de la calificación final ) y la calificación obtenida en el examen final (60% de la calificación final).

La evaluación en convocatoria extraordinaria se basará en un 100% en una prueba final escrita. Dicha prueba contendrá cuestiones teóricas y prácticas.

Todo lo relativo a la evaluación se regirá por la Normativa de evaluación y calificación de los estudiantes vigente en la Universidad de Granada, que puede consultarse en:

https://www.ugr.es/sites/default/files/2017-09/examenes.pdf

Evaluación final única(artículo 8 de la “Normativa de Evaluación” aprobada en Consejo de Gobierno el 20 de mayo de 2013). Aquellos estudiantes que siguiendo la Normativa de la UGR en los términos y plazos que en ella se exigen, se acojan a esta modalidad de evaluación, realizarán un solo acto académico el día de la convocatoria oficial de examen para la asignatura con diversas cuestiones teórico prácticas que garanticen que el alumno ha adquirido la totalidad de las competencias descritas en esta guía docente. La puntuación obtenida en ella representará el 100 % de la calificación final.

Durante el curso se publicará información adicional en la plataforma PRADO2 y/o Google (Classroom, Drive).