Guía docente de Métodos Matemáticos I (2671121)

Recomendable tener cursadas las asignaturas: Álgebra Lineal y Geometría, Análisis Matemático I y Análisis Matemático II.

• Variable compleja.
• Teorema de Cauchy.
• Integración en el plano complejo.
• Desarrollo en potencias.
• Análisis de Fourier.
• Transformadas integrales.

Se indican a continuación algunos de los objetivos a conseguir con el aprendizaje de los contenidos de la asignatura:

• Hacer cálculos con números complejos y funciones elementales complejas. Calcular raíces, logaritmos y potencias complejas.
• Calcular el radio de convergencia y estudiar el comportamiento en la frontera del disco de convergencia de una serie de potencias.
• Representar funciones holomorfas sencillas por su serie de Taylor.
• Calcular residuos.
• Usar el teorema de los residuos para calcular algunos tipos de integrales reales y complejas.
• Usar el teorema de los residuos para sumar algunos tipos de series de números reales.
• Clasificar las singularidades de una función holomorfa.
• Representar funciones holomorfas sencillas en un anillo por su serie de Laurent.
• Calcular la serie de Fourier de una función integrable y estudiar su convergencia. Aplicaciones de la identidad de Parseval.
• Usar técnicas de integración compleja para calcular transformadas de Fourier y de Laplace. Usar la transformada de Laplace para resolver algunos tipos de ecuaciones diferenciales.

1. Números complejos y topología en el campo complejo
   El cuerpo de los números complejos. Representaciones de los números complejos. Potencias y raíces. Fórmula de Euler. Elementos de topología en C. Curvas en C. El plano complejo extendido. Series numéricas.
2. Funciones de variable compleja
   Límites y continuidad. Diferenciabilidad. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Funciones armónicas. Funciones multiformes. Funciones elementales. Cortes de rama. Puntos de ramificación. Superficies de Riemann.
3. Teorema de Cauchy y aplicaciones
   Integrales a lo largo de curvas en el plano complejo. Primitivas. Teorema de independencia del camino. Teorema integral de Cauchy. Índice de un camino cerrado. Fórmula integral de Cauchy. Derivadas sucesivas de una función analítica. Teorema de Morera. Teorema de Liouville. Principio del módulo máximo. Teorema fundamental del álgebra.
4. Series en el campo complejo
   Series de funciones. Series de potencias. Funciones analíticas. Serie de Taylor. Ceros de una función analítica. Prolongación analítica. Principio de reflexión de Schwarz. Series de Laurent. Singularidades.
5. Teorema de los residuos y aplicaciones
   Teorema de los residuos. Cálculo de residuos. Residuo en el infinito. Principio del argumento. Teorema de Rouché. Integrales reales y lemas de integración. Integrales de funciones multiformes. Polos en el camino de integración. Suma de series.
6. Series de Fourier y transformadas integrales
   Series de Fourier. Transformada de Fourier. Propiedades y aplicaciones. Transformada de Laplace. Propiedades y aplicaciones. Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias.

• Problemas y ejercicios sobre los temas teóricos
• Seminarios/Talleres

• M.J. Ablowitz, A.S. Fokas, Complex Variable: Introduction and Applications. Cambridge University Press, 2003.
• A.K. Boiarchuk, Variable compleja: funciones de variable compleja. Moscú, 2002.
• A.K. Boiarchuk, Variable compleja: integración y series. Moscú, 2002.
• A.K. Boiarchuk, Variable compleja: residuos y temas especiales. Moscú, 2002.
• J.W. Brown, R.V. Churchill, Variable Compleja y Aplicaciones. McGraw-Hill, 2004.
• J.C. Cabello, Una introducción a la variable compleja. Aplicaciones, Godel Impresiones Digitales (2018)
• B. Conway. Functions of Complex Variable I. Springer Verlag. Graduate Texts. 1973.
• I.B.Chabat. Introduction à l'analyse complexe. Tome I. Editions Mir. Moscou. 1990.
• J.W. Dettman, Applied Complex Variables. McMillan Company N.Y., 1984.
• E.Hille. Analytic Function Theory Vol. I AMS Chelsea Publishing Company. 1987.
• N. Levinson, R.M. Redheffer, Curso de Variable Compleja. Reverté, 1990.
• D. Sánchez, Métodos de variable compleja, Ediciones UIB 2015.
• A. Silverman, Complex Analysis with Applications. Dover Publications Inc. N.Y., 1984.
• R. Spiegel, Variable Compleja. Serie Schaum, McGraw-Hill, 2011.
• E.T. Whittaker, G.N. Watson, A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press, 1996
• A. D. Wunsch, Variable compleja con aplicaciones. Addison-Wesley Iberoamericana, 1997.

• J.C. Angulo, Variable compleja: resolución de problemas y aplicaciones. Paraninfo, 2012.
• J. Bak, D.J. Newman, Complex analysis. Springer-Verlag, 1997
• R.V. Churchill, Series de Fourier y problemas de contorno. McGraw-Hill.
• H.F. Davis, Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover Publications Inc. N.Y., 1989.
• W.R. Derrick, Complex Analysis and Applications. Wadsworth International Group.
• J.L. Galán García et al, Formulario técnico de variable compleja con ejercicios resueltos. Bellisco, 2005.
• I.S. Gradshteyn, I.M. Ryzhik, Table of integrals, series, and products. Academix Press.
• R.E. Greene, S.G. Krantz, Function theory of one complex variable. American Math. Society, 2002.
• J.R. Hanna, J.H. Rowland, Fourier Series, Transforms, and Boundary Value Problems. John Wiley Ed.
• A.A. Hauser, Variable compleja. Fondo Educativo Interamericano, 1973.
• J.E. Marsden, M.J. Hoffman, Basic Complex Analysis, W.H. Freeman and Company, 1999.
• W.Rudin. Real and complex analysis. McGraw-Hill and Co. 1966.
• M.R. Spiegel, Transformadas de Laplace, Serie Schaum, McGraw-Hill, 1991.
• D.C.Ullrich. Complex made simple. Graduate Studies in Mathematicas, Volume 97. American Mathematical Society. 2008.

Tutoriales sobre análisis de Fourier:http://www.fourier-series.com/

• MD01. Lección magistral/expositiva 

La evaluación en la convocatoria ordinaria consistirá en la combinación de una evaluación continua y un examen final:

• Examen escrito de conocimientos de la materia y resolución de problemas,70%.
• Otras actividades (30%):
  - Asistencia y participación activa en las sesiones de clases teóricas y prácticas.
  - Resolución de problemas y ejercicios propuestos.
  - Participación en talleres de problemas.
  - Desarrollo de trabajos dirigidos.
  - Prueba/s de control.
• Para poder hacer media entre las dos actividades evaluables anteriores será necesario obtener al menos un 4 sobre 10 en el examen escrito de conocimientos y resolución de problemas.

Todo lo relativo a la evaluación se regirá por la Normativa de evaluación y calificación de los estudiantes vigente en la Universidad de Granada, que puede consultarse en:https://www.ugr.es/sites/default/files/2017-09/examenes.pdf

La evaluación en la convocatoria extraordinaria consistirá en un examen que incluirá teoría y problemas, y en ella el alumnado obtendrá el 100% de la calificación de la asignatura a partir de la calificación del examen final.

Aquellos estudiantes que, siguiendo la Normativa de la UGR en los términos y plazos que en ella se exigen, se acojan a esta modalidad de evaluación, realizarán un examen que incluirá teoría y problemas.