Guía docente de Curvas y Superficies (2951137)

Tener cursadas las asignaturas Geometría I, Geometría II, Geometría III y Topología I. Tener conocimientos adecuados sobre:

1. Cálculo diferencial en varias variables.
2. Ecuaciones diferenciales ordinarias.

• Curvas en el plano y en el espacio.
• Referencias de Frenet y curvaturas.
• Superficies en el espacio.
• Curvaturas de Gauss y media.
• Geodésicas.

1. Utilizar el análisis matemático para la modelización de problemas geométricos.
2. Comprender las nociones fundamentales de curvatura en los diferentes contextos geométricos y su cálculo.
3. Automatización de los procedimientos de cálculo, algebraico y analítico, mediante su aplicación a situaciones geométricas.

• Tema 1. Curvas en el plano y en el espacio
  • 1.1 Curvas parametrizadas. Curvas regulares. Longitud de arco.
  • 1.2. Teoría local de curvas regulares planas: curvatura y diedro de Frenet.
  • 1.3. Teoría local de curvas regulares en el espacio: curvatura, torsión y triedro de Frenet.
  • 1.4. Teorema fundamental de curvas en el espacio.
• Tema 2. Superficies en el espacio
  • 2.1. Definición de superficie y ejemplos.
  • 2.2. El cambio de parámetros. Funciones y aplicaciones diferenciables sobre superficies.
  • 2.3. El plano tangente y la primera forma fundamental.
  • 2.4. La diferencial de una función y de una aplicación diferenciable. Difeomorfismos.
• Tema 3. Curvaturas de una superficie
  • 3.1. Superficies orientables.
  • 3.2. Aplicación de Gauss. Endomorfismo de Weingarten. Curvaturas de Gauss y media.
  • 3.3. Expresiones locales y diferenciabilidad de las curvaturas.
  • 3.4. Curvaturas y geometría local. Secciones normales y fórmula de Euler.
  • 3.5. Curvaturas y geometría global. Teoremas de Hilbert, Hilbert-Liebmann y Jellet-Liebmann.
• Tema 4. Geometría intrínseca de superficies.
  • 4.1. Isometrías locales. Teoremas Egregium de Gauss y de rigidez de la esfera.
  • 4.2. Geodésicas.

Por cada tema del programa de teoría se entregará a los estudiantes al menos una relación de ejercicios, problemas y actividades complementarias. Este material se trabajará durante las sesiones teóricas, las sesiones prácticas y las tutorías, así como en los posibles seminarios, y exposiciones orales.

• A. M. Amores Lázaro: Curso básico de curvas y superficies. Editorial Sanz y Torres, Madrid, 2001.
• M. P. do Carmo: Geometría diferencial de curvas y superficies. Alianza Universidad Textos, 135. Alianza Editorial, Madrid, 1992.
• L. A. Cordero, M. Fernández y A. Gray: Geometría diferencial de curvas y superficies (con Mathematica). Addison-Wesley Iberoamericana, Wilmington, 1995.
• S. Montiel y A. Ros: Curves and surfaces. American Mathematical Society, Graduate Studies in Mathematics, 69 (2005). Versión en inglés de la edición en castellano publicada por Proyecto Sur de Ediciones, Granada, 1997.
• J. Pérez: Curvas y superficies. Granada, 2014. Disponible en https://wpd.ugr.es/~jperez/wordpress/wp-content/uploads/raizCyS.pdf

• A. F. Costa, M. Gamboa y A. M. Porto: Notas de geometría diferencial de curvas y superficies. Editorial Sanz y Torres, Madrid, 1977.
• J. Oprea: Differential geometry and its applications. Prentice-Hall, N. J. 1997.
• D. J. Struik: Geometría diferencial clásica. Aguilar, Madrid, 1973.

• http://xahlee.info/SpecialPlaneCurves_dir/specialPlaneCurves.html
• https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Surfaces

• MD01. Lección magistral/expositiva 
• MD02. Sesiones de discusión y debate 
• MD03. Resolución de problemas y estudio de casos prácticos 
• MD05. Seminarios 
• MD06. Análisis de fuentes y documentos 

Para la evaluación continua se tendrán en cuenta los siguientes apartados:

1. Pruebas escritas. Se podrá realizar una prueba parcial de contenido eliminatorio al terminar los temas 1 y 2, así como un examen final en convocatoria ordinaria. En caso de superarse, la prueba parcial podrá suponer un 35% de la nota final de la asignatura. Los estudiantes que superen la prueba parcial podrán elegir entre presentarse de toda la asignatura o sólo de los temas 3 y 4 en el examen final. Para superar la asignatura en convocatoria ordinaria será necesario obtener un mínimo de 4 puntos sobre 10 en este apartado. Además, en dicha convocatoria, este apartado supondrá el 70% de la calificación total. En la convocatoria extraordinaria este apartado supondrá el 100% de la calificación total.
2. El 30% de la calificación total obtenido en la convocatoria ordinaria podrá conseguirse mediante la participación activa en las sesiones teóricas, seminarios, exposiciones orales y tutorías.

Tal y como establece la normativa al respecto, los estudiantes que no hayan superado la asignatura en la convocatoria ordinaria dispondrán de una convocatoria extraordinaria. A ella podrán concurrir todos los estudiantes, con independencia de haber seguido o no un proceso de evaluación continua. La calificación de los estudiantes en la convocatoria extraordinaria se ajustará a las reglas establecidas en la guía didáctica de la asignatura. De esta forma, el estudiante que no haya realizado la evaluación continua tendrá la posibilidad de obtener el 100% de la calificación mediante la realización de un examen de las mismas características que el recogido en el caso de estudiantes de Evaluación Única Final.

Según se contempla en la “Normativa de Evaluación y de Calificación de los Estudiantes de la Universidad de Granada” (BOJA, 9 de noviembre de 2016), aquellos estudiantes que, en los supuestos contemplados en dicha normativa, no puedan cumplir con el método de evaluación continua, descrito en el apartado anterior, podrán solicitar, en los términos de la citada Normativa Art. 8, acogerse a una evaluación única final. En tal caso, el estudiante realizará el examen final de la convocatoria ordinaria que tendrá un peso del 100% de la calificación. También dispondrá del examen de la convocatoria extraordinaria.