Guía docente de Álgebra II (2701125)

Tener cursada la asignatura Algebra I

Combinatoria y Teoría de grafos. Grupos finitos. Clasificación de grupos abelianos finitos. Grupos de orden bajo.

• Saber pasar al lenguaje de grafos problemas concretos.
• Conocer los grafos eulerianos, hamiltonianos, sus caracterizaciones y condiciones de planaridad.
• Comprender y manejar la estructura de grupo.
• Conocer los principales ejemplos de grupos finitos.
• Saber determinar la normalidad de un subgrupo.
• Conocer los teoremas fundamentales sobre grupos finitos.
• Saber aplicar los teoremas anteriores para el estudio de las propiedades de un grupo finito.
• Clasificar los grupos abelianos finitos de un orden dado.

Tema 1. Combinatoria y Teoría elemental de grafos. Elementos de combinatoria. Generalidades sobre grafos. Grafos de Euler y Hamiltonianos. Grafos planos.

Tema 2. Grupos: definición y ejemplos. Concepto de grupo y primeras propiedades. Grupos de unidades de anillos. Grupos de raíces complejas de la unidad. Grupos de permutaciones. Grupos diédricos El grupo de los cuaternios. El grupo de Klein. Concepto de homomorfismo de grupos y ejemplos. Grupos isomorfos.

Tema 3. Subgrupos. Generadores. Retículos. Concepto y primeras propiedades. Los grupos alternados. El retículo de subgrupos de un grupo. Conjuntos de generadores. Órdenes e índices de subgrupos. Teorema de Lagrange. Subgrupos cíclicos. Ejemplos de retículos de subgrupos.

Tema 4. Grupos cocientes. Teoremas de isomorfía. Concepto de subgrupo normal. Grupos cocientes. Teoremas de isomorfía. Producto (semi)directo de grupos. Criterio de reconocimiento de un grupo como producto (semi)directo de subgrupos suyos.

Tema 5. Grupos resolubles. Series de grupos finitos. Series de composición. Grupos simples. El teorema de Jordan-Holder. Grupos resolubles. Propiedades.

Tema 6. G-conjuntos y p-grupos. Grupos actuando sobre conjuntos. Orbitas. La acción de conjugación. Teorema de Burnside sobre p-grupos. Teoremas de Sylow sobre p-subgrupos. Criterios de resolubilidad en función del orden de un grupo.

Tema 7. Clasificación de grupos abelianos finitos. Teorema de estructura de grupos abelianos finitos. Descomposición cíclica y descomposición cíclica primaria de un grupo abeliano finito. Clasificación de grupos abelianos de orden n.

Tema 8. Presentaciones de grupos. Clasificación de grupos de orden bajo. Grupos definidos por generadores y relaciones. Ejemplos. Clasificación.

TEMARIO PRÁCTICO:

Relación 1. Ejercicios prácticos sobre los contenidos del Tema 1.

Relación 2. Ejercicios prácticos sobre los contenidos del Tema 2.

Relación 3. Ejercicios prácticos sobre los contenidos del Tema 3.

Relación 4. Ejercicios prácticos sobre los contenidos del Tema 4.

Relación 5. Ejercicios prácticos sobre los contenidos del Tema 5.

Relación 6. Ejercicios prácticos sobre los contenidos del Tema 6.

Relación 7. Ejercicios prácticos sobre los contenidos del Tema 7.

Relación 8. Ejercicios prácticos sobre los contenidos del Tema 8.

• L.R. Foulds, Graph Theory. Applications, Springer- Verlag 1992.
• P.M. Cohn, Classic Algebra. Wiley and sons, 2000.
• D.S. Dummit, R.M. Foote, Abstract algebra . JohnWiley, 1999.
• J.B. Fraleigh Algebra abstracta. Addison-Wesley Iberoamericana, 1987.
• I. Grossman, W. Magnus, Groups and their graphs. The Math. Assoc. Amer. 14, Washington DC, 1992.
• T.W. Hungerford. Algebra. Grad. Texts in Math. 73. Springer-Verlag NY, Inc. 1974.
• N. Jacobson, BasicAlgebra (2 vol.). Freeman, 1985.
• A.I. Kostrikin, Introducción al algebra. McGraw-Hill, 1992.
• J.G. Miranda, Lógica para informáticos. AVICAM. Fleming, 2017.

http://www.ugr.es/~algebra/

• MD01. Lección magistral/expositiva 
• MD02. Sesiones de discusión y debate 
• MD03. Resolución de problemas y estudio de casos prácticos 
• MD06. Análisis de fuentes y documentos 
• MD08. Realización de trabajos individuales 

En convocatoria ordinaria la evaluación de la asignatura se realizará mediante pruebas escritas y/o tareas de resolución de problemas que comprenderán los aspectos teóricos y prácticos de la materia programada. También se valorará eventualmente la asistencia y participación activa en clase.

La calificación final se determinará acorde a los siguientes porcentajes:

• Un mínimo del 30%. Correspondiente fundamentalmente a la calificación de una o más pruebas intermedias, que se realizarán en el periodo lectivo. También se valorará la asistencia regular a clase, la exposiciones orales o resolución de ejercicios que se propongan.
• Un máximo del 70%. Correspondiente fundamentalmente a la calificación obtenida en una prueba final sobre los contenidos teóricos y prácticos de la asignatura.

En la convocatoria extraordinaria la calificación será la obtenida tras la realización de un único examen, de carácter presencial, que comprenderá todos los contenidos teóricos y prácticos de la asignatura especificados en esta guía docente.

En este caso la calificación será la obtenida tras la realización de un único examen, de carácter presencial, que comprenderá todos los contenidos teóricos y prácticos de la asignatura especificados en esta guía docente.