Guía docente de Análisis Matemático II (2701126)

Se recomienda haber cursado las asignaturas de Cálculo I, Cálculo II y Análisis Matemático I

• Integración de funciones de varias variables en recintos sencillos.
• Medida e integral de Lebesgue para funciones de varias variables reales.
• Teoremas de convergencia para la integral de Lebesgue.
• Integración reiterada y cambios de variable.

• Comprender las nociones de convergencia puntual y convergencia uniforme para sucesiones y series de funciones, y conocer las ventajas de la segunda con respecto a la primera
• Saber estudiar, en ejemplos concretos, la convergencia puntual y uniforme de una sucesión de funciones
• Saber utilizar el test de Weierstrass, para estudiar la convergencia absoluta y uniforme de una serie de funciones
• Conocer una construcción de la medida de Lebesgue
• Comprender las principales propiedades topológicas y geométricas de la medida de Lebesgue
• Conocer una definición de la integral de Lebesgue, y distinguirla de otras nociones de integral
• Comprender en profundidad los teoremas de convergencia para la integral de Lebesgue
• Conocer el teorema fundamental del cálculo y saber usarlo para estudiar la integrabilidad de funciones de una variable y calcular integrales simples
• Conocer el teorema de Fubini y saber usarlo para calcular integrales múltiples
• Comprender el teorema de cambio de variable y saber usarlo para calcular integrales múltiples
• Saber usar la integración para el cálculo de áreas y volúmenes

Capítulo 0: Sucesiones y series de funciones

• Sucesiones de funciones. Tipos de convergencia.
• Series de funciones.

Capítulo 1: Medida de Lebesgue en el espacio euclídeo

• σ-álgebras y medidas
• La medida de Lebesgue
• Propiedades topológicas y geométricas de la medida de Lebesgue

Capítulo 2: Integración

• Funciones medibles
• Teorema de aproximación de Lebesgue
• Integral de una función medible positiva
• Funciones integrables
• Teoremas de la convergencia y sus consecuencias

Capítulo 3: Teorema fundamental del cálculo

• Teorema de derivación de Lebesgue para funciones monótonas.
• Derivación de integrales indefinidas.
• Integración de derivadas.
• Regla de Barrow.

Capítulo 4: Integración iterada y cambio de variable

• Teoremas de Fubini y Tonelli.
• Teorema del cambio de variable.

Las prácticas de esta asignatura consisten en la resolución de ejercicios relacionados con los contenidos teóricos antes expuestos. El temario es el mismo.

• BERBERIAN, S.K.: Fundamentals of Real Analysis. Springer, 1998.
• FERNÁNDEZ, J.A. Y SÁNCHEZ, E.: Ejercicios y complementos de Análisis Matemático II. Tecnos, 1986.
• GUZMAN, M. y RUBIO, B.: Integración: teoría y técnicas. Alhambra, 1979.
• LUKEŠ, J. Y MALÝ, J.: Measure and integral. Matfyzpress, Praga, 1995.
• MARSDEN, J.E. Y HOFFMAN; M.J.: Análisis clásico elemental. Addison-Wesley, 1998.
• STROMBERG, K.R.: An Introduction to Classical Real Analysis. American Mathematical Society, 2015.
• WHEEDEN R. L., ZYGMUND A., Measure and Integral. An Introduction to Real Analysis. CRC Press, 2015.

• BRUCKNER, A. M., BRUCKNER, J. B., THOMSON, B.S.: Real analysis, Prentice-Hall International, Inc. 1997.
• KANNAN, R., KRUEGER, C. K.: Advanced Analysis on the real line, Springer, 1996.
• KUTTLER, K. L: Modern Analysis, Studies in advanced mathematics, CRC

https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-02sc-multivariable-calculus-fall-2010/

https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-125-measure-and-integration-fall-2003/lecture-notes/

• MD01. Lección magistral/expositiva 
• MD03. Resolución de problemas y estudio de casos prácticos 
• MD06. Análisis de fuentes y documentos 
• MD07. Realización de trabajos en grupo 
• MD08. Realización de trabajos individuales 

Se usarán los siguientes procedimientos de evaluación, con la ponderación que se indica:

• 20% Participación activa en clase y tutorías, entregas y exposiciones de trabajos.
• 40% Controles escritos de carácter teórico y práctico.
• 40% Examen final.

La calificación numérica se obtendrá como media ponderada de la puntuación obtenida en las anteriores actividades.

Se realizará un único examen de carácter teórico y práctico, que comprenderá todos los contenidos de la asignatura impartidos. La puntuación obtenida en este examen representará el 100% de la calificación.

Se realizará un único examen de carácter teórico y práctico, que comprenderá todos los contenidos de la asignatura impartidos. La puntuación obtenida en este examen representará el 100% de la calificación.

Las medidas de adaptación de tutorías, docencia y evaluación, así como las ponderaciones de evaluación, etc. podrían verse afectadas en función de circunstancias extraordinarias que pudieran sobrevenir motivadas por la crisis sanitaria o alguna otra razón. En todo caso, las posibles alteraciones de esta guía docente priorizarán el objetivo de evitar perjuicio a los alumnos afectados.