Guía docente de Geometría Global de Curvas y Superficies (27011C1)

Curso 2024/2025
Fecha de aprobación: 20/06/2024

Grado

Grado en Matemáticas

Rama

Ciencias

Módulo

Complementos de Geometría y Topología

Materia

Geometría Global de Curvas y Superficies

Curso

4

Semestre

1

Créditos

6

Tipo

Optativa

Profesorado

Teórico

Manuel María Ritore Cortés. Grupo: A

Tutorías

Manuel María Ritore Cortés

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  • Primer semestre
    • Lunes
      • 13:00 a 14:00 (Despacho)
      • 15:00 a 16:30 (Despacho)
    • Martes
      • 13:00 a 14:00 (Despacho)
      • 15:00 a 16:30 (Despacho)
    • Miércoles de 13:00 a 14:00 (Despacho)
  • Segundo semestre
    • Martes de 10:00 a 13:00 (Despacho)
    • Miércoles de 10:00 a 13:00 (Despacho)

Prerrequisitos y/o Recomendaciones

Para un correcto aprovechamiento de la materia se recomienda

  1. Haber superado la asignatura obligatoria “Curvas y Superficies”.
  2. Tener conocimientos adecuados sobre integración de Lebesgue, topología general y fundamentos de topología algebraica.

Breve descripción de contenidos (Según memoria de verificación del Grado)

  • Teoría global de curvas planas: Teorema de la curva de Jordan, Desigualdad isoperimétrica, óvalos.
  • Teoremas globales sobre curvas alabeadas.
  • Integración en superficies.
  • Ovaloides.
  • Teorema de Gauss-Bonnet-Poincaré.

Competencias

General competences

  • CG01. Poseer los conocimientos básicos y matemáticos de las distintas materias que, partiendo de la base de la educación secundaria general, y apoyándose en libros de texto avanzados, se desarrollan en esta propuesta de título de Grado en Matemáticas 
  • CG02. Saber aplicar esos conocimientos básicos y matemáticos a su trabajo o vocación de una forma profesional y poseer las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de las Matemáticas y de los ámbitos en que se aplican directamente 
  • CG03. Saber reunir e interpretar datos relevantes (normalmente de carácter matemático) para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética 
  • CG04. Poder transmitir información, ideas, problemas y sus soluciones, de forma escrita u oral, a un público tanto especializado como no especializado 
  • CG05. Haber desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía 
  • CG06. Utilizar herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos 

Competencias Específicas

  • CE01. Comprender y utilizar el lenguaje matemático. Adquirir la capacidad de enunciar proposiciones en distintos campos de las matemáticas, para construir demostraciones y para transmitir los conocimientos matemáticos adquiridos 
  • CE02. Conocer demostraciones rigurosas de teoremas clásicos en distintas áreas de Matemáticas 
  • CE03. Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos 
  • CE04. Saber abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada, y de otros ámbitos) y distinguirlas de aquellas puramente accidentales, y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos, así como identificar errores en razonamientos incorrectos 
  • CE05. Resolver problemas matemáticos, planificando su resolución en función de las herramientas disponibles y de las restricciones de tiempo y recursos 
  • CE06. Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan 
  • CE07. Utilizar aplicaciones informáticas de análisis estadístico, cálculo numérico y simbólico, visualización gráfica, optimización u otras para experimentar en matemáticas y resolver problemas 
  • CE08. Desarrollar programas que resuelvan problemas matemáticos utilizando para cada caso el entorno computacional adecuado 

Competencias Transversales

  • CT01. Desarrollar cierta habilidad inicial de "emprendimiento" que facilite a los titulados, en el futuro, el autoempleo mediante la creación de empresas 
  • CT02. Fomentar y garantizar el respeto a los Derechos Humanos y a los principios de accesibilidad universal, igualdad ante la ley, no discriminación y a los valores democráticos y de la cultura de la paz 

Resultados de aprendizaje (Objetivos)

  • Conocer e identificar la relación entre curva parametrizada y simple.
  • Conocer y comprender algunas propiedades globales de las curvas planas.
  • Reconocer y saber las propiedades de las curvas simples de curvatura positiva.
  • Conocer la curvatura total de una curva y su información topológica.
  • Saber y comprender las propiedades de separación de una superficie cerrada.
  • Utilizar la Topología y el Análisis en el estudio de la Geometría Diferencial Global.
  • Conocer las propiedades globales de una superficie cerrada de curvatura positiva.
  • Saber relacionar la curvatura total de una superficie compacta con su topología.

Programa de contenidos Teóricos y Prácticos

Teórico

  • Tema 1. Teoría global de curvas planas. Teorema de la curva de Jordan. Desigualdad isoperimétrica.
  • Tema 2. Integración en superficies. El teorema de la divergencia.
  • Tema 3. Ovaloides.
  • Tema 4. El teorema de Gauss-Bonnet-Poincaré. Aplicaciones.

Bibliografía

Bibliografía fundamental

  1. M. Abate y F. Tobena, Curves and Surfaces, Unitext Springer, 2012.
  2. M. P. Do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, 1976.
  3. T. C. Hales, Jordan's proof of the Jordan Curve Theorem, Studies in Logic, Grammar and Rhetoric 10 (23) 2007.
  4. S. Montiel y A. Ros, Curves and Surfaces, AMS Graduate Studies in Mathematics, 69, 2005.
  5. M. Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, vols. 3 y 5, Publish or Perish, 1979.

Bibliografía complementaria

  1. L. A. Cordero, M. Fernández y A. Gray, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Addison-Wesley Iberoamericana, 1995.
  2. R. S. Millman y G. D. Parker, Elements of Differential Geometry, Prentice-Hall, 1977.
  3. D.J. Struik, Lectures on classical differential geometry. Reprint of the second edition. Dover Publications, Inc., New York, 1988.

Metodología docente

  • MD01. Lección magistral/expositiva 
  • MD02. Sesiones de discusión y debate 
  • MD03. Resolución de problemas y estudio de casos prácticos 
  • MD06. Análisis de fuentes y documentos 
  • MD07. Realización de trabajos en grupo 
  • MD08. Realización de trabajos individuales 

Evaluación (instrumentos de evaluación, criterios de evaluación y porcentaje sobre la calificación final)

Evaluación Ordinaria

En la convocatoria ordinaria la evaluación será preferentemente continua. La evaluación continua comprende:

  • Dos pruebas escritas, de igual valor (cada una 40% de la nota final) y con carácter eliminatorio.
  • Entrega de ejercicios (20% de la nota final).

En la convocatoria ordinaria se realizará un examen final escrito sobre la asignatura incluyendo problemas o cuestiones teóricas (80% de la nota final).

Evaluación Extraordinaria

La convocatoria extraordinaria consistirá en un examen escrito sobre toda la asignatura, incluyendo problemas o cuestiones teóricas (100% de la calificación final).

Evaluación única final

Examen escrito sobre toda la asignatura, incluyendo problemas o cuestiones teóricas (100% de la calificación final).