Guía docente de Geometría II (2701118)

Se recomienda haber cursado y superado la asignatura Geometría I.

• Valores y vectores propios de endomorfismos.
• Aplicaciones bilineales y formas cuadráticas.
• Diagonalización.

1. Saber reconocer cuándo un endomorfismo de un espacio vectorial real es diagonalizable.
2. Conocer los conceptos de forma multilineal y tensor.
3. Identificar y clasificar formas bilineales y formas cuadráticas reales.
4. Conocer y saber aplicar los procedimientos de diagonalización ortogonal de las matrices simétricas.
5. Reconocer la necesidad de las formas bilineales y cuadráticas para efectuar medidas de ángulos y longitudes.
6. Identificar y clasificar isometrías vectoriales en el plano y en el espacio.
7. Conocer las nociones de estructura afín de un espacio vectorial euclídeo e isometría afín.

• Tema 1. Diagonalización de endomorfismos.

1.1. Valores y vectores propios. Subespacios propios.

1.2. Polinomio característico. Multiplicidad geométrica y algebraica.

1.3. El teorema fundamental de diagonalización.

1.4. El teorema de Cayley-Hamilton.

• Tema 2. Formas bilineales y formas cuadráticas.

2.1. Aplicaciones multilineales y tensores.

2.2. Formas bilineales. Ejemplos. Expresión matricial. Congruencia de matrices.

2.3. Clasificación de métricas y formas cuadráticas reales.

2.4. Bases ortogonales y ortonormales. Ley de inercia y criterio de Sylvester.

2.5. Isometrías entre espacios vectoriales métricos.

• Tema 3. Espacios vectoriales euclídeos.

3.1. Métricas euclídeas. Norma, ángulos, perpendicularidad. Bases ortonormales.

3.2. Endomorfismo adjunto. Endomorfismos autoadjuntos y su diagonalización.

3.3. Diagonalización ortogonal de matrices simétricas.

3.4. Clasificación de isometrías.

Por cada tema del programa de teoría se entregará a los alumnos al menos una hoja de ejercicios, cuestiones y/o actividades complementarias como tareas a desarrollar. Este material también se trabajará durante las clases, las tutorías y las exposiciones orales.

• Arvesú, J., Álvarez, R. y Marcellán, F.: Álgebra lineal y aplicaciones. Ed. Síntesis, 1999.
• Arvesú, J., Álvarez, R. y Marcellán, F.: Problemas resueltos de Álgebra lineal. Ed. Thomson, 2004.
• Burgos, J.: Álgebra lineal. MacGraw-Hill, 1993.
• Castellet, M. y Llerena, I.: Álgebra lineal y Geometría. Ed. Reverté, 1981.
• Greub, W.: Linear Algebra. Springer-Verlag, 1981.
• Merino, L. y Santos, E.: Álgebra lineal con métodos elementales. Ed. Thomson, 2006.
• Milán, F.: Manual de Geometría II. Ed. Avicam, 2024.
• Raya, A., Rider, A. y Rubio, R.: Álgebra lineal y Geometría. Ed. Reverté, 2007.
• Rojo, J. y Martín, I.: Ejercicios y problemas de Álgebra lineal. MacGraw-Hill, 1994.
• Romero, A.: Álgebra lineal y Geometría I. Ed. La Madraza, 1991.
• Sánchez, I.: Geometría II: de la diagonalización a las isometrías. Godel Impresiones Digitales SL., 2014.

• Berger, M.: Geometry I, II. Springer Verlag, 1987.
• Coxeter, H. S. M.: Introduction to Geometry. John Wiley, 1969..
• Wolfram, S.: Mathematica, a system for doing Mathematics by computer. Addison-Wesley, 1991.

Web de docencia del Dpto. de Geometría y Topología: http://geometry.ugr.es/docencia.php?titu=mat&lang=esp

• MD01. Lección magistral/expositiva 
• MD02. Sesiones de discusión y debate 
• MD03. Resolución de problemas y estudio de casos prácticos 
• MD05. Seminarios 
• MD06. Análisis de fuentes y documentos 
• MD07. Realización de trabajos en grupo 
• MD08. Realización de trabajos individuales 

Con objeto de evaluar la adquisición de los contenidos y competencias a desarrollar en la materia, se utilizará preferentemente un sistema de evaluación continua y diversificada, con los siguientes criterios:

1. Un examen final escrito con cuestiones teóricas y resolución de problemas: 70% de la calificación final.
2. Notas de clase, participación, realización de pruebas y ejercicios: 30% de la calificación final.

Para superar la asignatura será necesario obtener una calificación de al menos 5 sobre 10 en el apartado 1. En caso contrario, la calificación final será la obtenida en dicho examen.

Las notas del apartado 2 solo tienen efecto para la convocatoria ordinaria del año en curso, no se guardarán para la convocatoria extraordinaria, ni para otras sucesivas convocatorias.

El sistema de calificaciones se expresará mediante calificación numérica de acuerdo con lo establecido en el artículo 5 del R. D. 1125/2003, de 5 de septiembre, por el que se establece el sistema europeo de créditos y el sistema de calificaciones en las titulaciones universitarias de carácter oficial y validez en el territorio nacional.

Tal y como establece la normativa al respecto, los estudiantes que no hayan superado la asignatura en la convocatoria ordinaria dispondrán de una convocatoria extraordinaria. A ella podrán concurrir todos los estudiantes, con independencia de haber seguido o no un proceso de evaluación continua. De esta forma, el estudiante que no haya realizado la evaluación continua tendrá la posibilidad de obtener el 100% de la calificación mediante la realización de un examen.

Según se contempla en la “Normativa de Evaluación y de Calificación de los Estudiantes de la Universidad de Granada” (BOJA, 9 de noviembre de 2016), aquellos estudiantes que, en los supuestos contemplados en dicha normativa, no puedan cumplir con el método de evaluación continua, descrito en el apartado anterior, podrán solicitar, en los términos de la citada Normativa Art. 8, acogerse a una evaluación única final.

En tal caso, realizará el examen final de la convocatoria ordinaria que tendrá un peso del 100% de la calificación. También dispondrá del examen de la convocatoria extraordinaria.

Web del Grado en Matemáticas de la UGR: https://grados.ugr.es/matematicas/