Guía docente de Teoría de Números y Criptografía (27011A4)

Tener cursadas las asignaturas Álgebra I, II y III.

• Introducción a la Teoría Algebraica de Números.
• Elementos enteros y descomposición de ideales en extensiones.
• Factorización y tests de primalidad.
• Criptografía asimétrica y criptosistemas.

• Conocer las dificultades de la factorización no solo de enteros sino también de números algebraicos.
• Conocer la extensión de factorizaciones a ideales.
• Calculo del grupo y el número de clase.
• Conocer las diferentes tecnologías de cifrado simétrico y las técnicas matemáticas en que se fundamentan.
• Conocer varios sistemas de cifrado asimétrico a partir de los problemas de teoría de números que los soportan.

TEMARIO TEÓRICO:

Introducción a la teoría algebraica de números:

• Reciprocidad y formas cuadráticas, residuos cuadráticos. Cuadrados, suma de cuadrados y formas cuadráticas.

• Fracciones continuas simples y regulares. La ecuación de Pell.

• Cuerpos de números cuadráticos y algunas ecuaciones diofánticas.

• Números algebraicos, números irracionales y la medida de irracionalidad. Teoremas de Thue y de Roth.

• Teoría de clases de ideales enteros en cuerpos de números algebraicos. Teorema de unidades de Dirichlet. Aplicación a la ecuación de Mordell y la ecuación de Fermat (n=5).

• Ecuaciones y curvas elípticas. Teorema de Mazur y la conjetura de Mordell, curvas elípticas sobre cuerpos finitos y el Teorema de Hasse.

Aplicación de la teoría elemental de números a la criptografía:

• Primalidad y factorización.

• Clave publica y criptosistemas RSA.

• Criptosistemas basados en el logaritmo discreto.

• Criptosistemas basados en curvas elípticas.

• Neal Koblitz. A Course in Number Theory and Criptography. 2nd edition. Graduate Text in Mathematics, 114. Springer, 1994.
• I. Niven, H. S. Zuckerman and H. L. Montgomery. An introduction to the Theory of Numbers. John Wiley & Sons, 1991.
• Ian Stewart and David Tall. Algebraic Numer theory and Fermat's Last Theorem. A.K. Peters 2002.
• Hans Delfs and Helmut Knebl. Introduction to Cryptography. Principles and Applications. 3rd edition. Information Security and Cryptography. Springer, 2015.
• A. Enge. Elliptic curves and their applications to cryptography. An introduction. Kluwer Academic Publishers. 1999.
• H. Davenport. The higher arithmetic. An introduction to the theory of numbers. Eighth edition. Cambridge University Press. Cambridge, 2008.

• Yu. I. Manin and A.A. Panchishkin. Introduction to modern number theory. Second edition. Encyclopaedia of mathematical Sciences, Vol. 49. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2005.

• MD01. Lección magistral/expositiva 
• MD02. Sesiones de discusión y debate 
• MD03. Resolución de problemas y estudio de casos prácticos 
• MD04. Prácticas en sala de informática 
• MD05. Seminarios 
• MD06. Análisis de fuentes y documentos 
• MD07. Realización de trabajos en grupo 
• MD08. Realización de trabajos individuales 

Con objeto de evaluar la adquisición de los contenidos y competencias a desarrollar se realizarán las siguientes pruebas evaluativas.

- Elaboración de un trabajo (en grupo) que será expuesto en las últimas semanas de clase. Esta actividad tendrá un valor del 30% de la nota final (15% la evaluación del trabajo y 15% la evaluación de la exposición). La asistencia a las exposiciones de los trabajos de todos los estudiantes estará incluida en la calificación de la exposición. La asistencia a clase no es obligatoria y por tanto no repercutirá en la calificación, salvo en el periodo de exposición de los trabajos.

- Prueba final escrita: la ponderación de esta actividad será del 70%.

Para aprobar la asignatura se deberá obtener al menos un 50% de la calificación máxima en cada uno de estos dos apartados.

Consistirá en un examen escrito sobre los contenidos de la asignatura. A este examen tendrán que presentarse aquellos estudiantes que no hayan superado o no se hayan presentado a la convocatoria ordinaria, y todos aquellos que hayan solicitado evaluación única final.

La prueba de la convocatoria extraordinaria permitirá obtener el total de la calificación (no dependiendo necesariamente de la calificación del trabajo en grupo).

No obstante, aquellos estudiantes que hayan superado el trabajo en grupo y no hayan superado la prueba final escrita en convocatoria ordinaria, podrán optar a presentarse a la convocatoria extraordinaria, manteniendo la calificación del trabajo en grupo. En este caso, la nota final se calculará de igual forma que en la convocatoria ordinaria.

Los estudiantes que soliciten evaluación única final sólo tendrán que realizar una prueba escrita (la prueba final de la asignatura). En este escenario la calificación final será la obtenida en esta misma prueba.