Guía docente de Variedades Diferenciables (27011C2)

Para un correcto aprovechamiento de la materia Variedades Diferenciables se recomienda haber superado las siguientes materias

• Geometrías I, II y III
• Topología I y II
• Curvas y Superficies

También se recomienda tener conocimientos adecuados sobre:

• Álgebra lineal y multilineal
• Cálculo de una y varias variables
• Ecuaciones diferenciales ordinarias

• Variedades diferenciables
• Vectores tangentes, campos y formas
• Integración en variedades. Teorema de Stokes

• Comprender y reconocer las variedades diferenciables y los objetos que aparecen en el desarrollo del cálculo diferencial sobre las mismas.
• Conocer el cálculo integral y sus propiedades sobre una variedad diferenciable.

Tema 1. Nociones básicas.

1. Concepto de variedad diferenciable.
2. Aplicaciones diferenciables entre variedades. Difeomorfismos.
3. Espacios tangente y cotangente.
4. La diferencial de una aplicación diferenciable.
5. Clasificación de aplicaciones diferenciables según el rango de su diferencial.

Tema 2. Campos de vectores.

1. Campos de vectores. Flujo de un campo de vectores.
2. Álgebra de Lie de campos de vectores.

Tema 3. Formas diferenciales

1. Formas diferenciales exteriores. El álgebra exterior.
2. Diferencial exterior de formas diferenciales. Formas cerradas y exactas.
3. Producto interior y derivada de Lie.

Tema 4. Integración en Variedades

1. Integración sobre una superficie
2. Orientación en variedades. Formas de volumen.
3. Dominios con borde en una variedad orientada.
4. Integración de formas diferenciales en dominios de variedades orientadas.

Tema 5. Teorema de Stokes

1. Orientación inducida en el borde de un dominio con borde diferenciable.
2. Teorema de Stokes sobre una superficie
3. Teorema de Stokes.
4. Algunas consecuencias: teorema de Green, teorema de la divergencia y teorema clásico de Stokes.

Por cada tema del programa de teoría se complementará con una serie de ejercicios, problemas y/o actividades complementarias relacionados con el mismo.

Este material se trabajará durante las sesiones teóricas, las sesiones prácticas, los seminarios, las tutorías y las exposiciones orales.

• AMORES, A.M.: Integración y formas diferenciales: un curso de análisis vectorial, Ed. Sanz y Torres, Madrid, 2001.
• GAMBOA J.M. y RUIZ SANCHO, J.M.: Iniciación al estudio de las variedades diferenciables, 2ª Edición, Sanz y Torres S. L., Madrid, 2006.
• LEE, J.M.: Manifolds and Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, vol. 107, American Matemátical Society, EE.UU., 2009.
• SPIVAK M.: A comprehensive introduction to Differential Geometry, Vol. I-V, Publish or Perish Inc. 1999.
• WARNER, F.: Foundations of differential manifolds and Lie groups, Scott Foresman and Co 1971.

• BACHMAN, D.: A Geometric Approach to Differential Forms, Birkhauser, 2012.
• GODBILLON, C.: Géométrie différentielle et Mécanique analytique, Collection Méthodes, Hermann, Paris, 1969.
• PÉREZ, J.: Apuntes de Geometría y Topología.http://www.ugr.es/~jperez/papers/GeometriaYTopologia.pdf

• MD01. Lección magistral/expositiva 
• MD02. Sesiones de discusión y debate 
• MD03. Resolución de problemas y estudio de casos prácticos 
• MD05. Seminarios 
• MD06. Análisis de fuentes y documentos 
• MD07. Realización de trabajos en grupo 
• MD08. Realización de trabajos individuales 
• MD09. Seguimiento del TFG 

De acuerdo con la “Normativa de Evaluación y de Calificación de los Estudiantes de la Universidad de Granada” (aprobada por acuerdo del C.G. el 20-05-2013), con objeto de evaluar la adquisición de los contenidos y competencias a desarrollar en la materia, se utilizarán alternativamente los sistemas de evaluación continua y de evaluación única final.

• Evaluación continua:

Será el método preferente de evaluación. Se trata de un sistema de evaluación diversificado que permita poner de manifiesto los diferentes conocimientos y capacidades adquiridos por el alumnado al cursar la asignatura, con los siguientes porcentajes:

• 70% de la calificación total: un único examen final correspondiente a la convocatoria ordinaria, siendo requerida una nota de 5 sobre 10 en el mismo para aprobar la asignatura.
• 30% de la calificación total: resolución de ejercicios y actividades complementarias.

El examen extraordinario de recuperación valdrá el 100% de la calificación.

Será un método excepcional de evaluación, podrán acogerse a él aquellos estudiantes que no puedan, por causa debidamente justificada, seguir el régimen de evaluación continua.

La evaluación única final se realiza en un solo acto académico que podrá incluir cuantas pruebas sean necesarias para acreditar que el estudiante ha adquirido la totalidad de las competencias descritas en la Guía Docente de la asignatura. Esencialmente consistirá de un examen teórico-práctico de todo el temario detallado anteriormente. La calificación final será el 100% de la obtenida en el examen.

Las calificaciones finales se expresará mediante calificación numérica de acuerdo con lo establecido en el artículo 5 del R.D. 1125/2003, de 5 de septiembre, por el que se establece el sistema europeo de créditos y el sistema de calificaciones en las titulaciones universitarias de carácter oficial y validez en el territorio nacional. La calificación global corresponderá a la puntuación ponderada de los diferentes aspectos y actividades que integran el correspondiente sistema de evaluación.