Práctica 2. Números complejos
1 Operaciones con números complejos. Forma binómica de un número
complejo.
Como vimos en la práctica anterior, la unidad imaginaria es la constante %i. Las operaciones
elementales se pueden aplicar a números complejos.
| (%i1) | (1+2*%i)+(3+8*%i); |
| (%i2) | (1+3*%i) - (7+2*%i); |
| (%i3) | (1+sqrt(3)*%i) * (2+2*%i); |
| (%i4) | (1+sqrt(3)*%i) / (2+2*%i); |
| (%i5) | (1-%i)^3; |
| (%i6) | expand(%i3); |
Observamos que algunas operaciones quedan indicadas. Para que sean efectuadas debemos
emplear una instrucción de manipulación algebráica o, más sencillo, pedir a Maxima que nos
muestre el resultado en forma binómica con la instrucción rectform .
| (%i7) | ratsimp( expand( (1+sqrt(3)*%i) * (2+2*%i) ) ); |
| (%i8) | rectform( (1+sqrt(3)*%i) * (2+2*%i) ); |
Observamos que, al contrario de lo que acostumbramos, Maxima ha mostrado la parte imaginaria al
principio, y luego la parte real.
Ejercicio: Defina los números z1=1+%i y z2=1-%i. Exprese en forma binómica la suma z1+z2,
la resta z1-z2, y el producto z1*z2 .
(Solución : 2, 2*%i, 2 )
El módulo de un número complejo se halla con abs, la parte real con realpart, la parte
imaginaria con imagpart, el argumento de un número complejo con carg y el conjugado con
conjugate .
| (%i9) | z:(1+sqrt(3)*%i); |
| (%i10) | abs(z); |
| (%i11) | realpart(z); |
| (%i12) | imagpart(z); |
| (%i13) | carg(z); |
| (%i14) | conjugate(z); |
Ejercicio. Halle el módulo y el argumento del número complejo 2+i.
(Sol. Módulo=sqrt(5), argumento=atan(1/2)=0.46364760900081 ).
Ejercicio. Sea w el número que resulta de dividir (2+2*%i) entre (1-%i).
Halle la parte real, y la parte imaginaria de w.
(Sol. Parte real 0, parte imaginaria 2).
Ejercicio: Defina el número w1=-1+sqrt(3)*%i. Halle el argumento de w1 y el argumento del
conjugado de w1.
(Sol. 2*pi/3, y -2*pi/3 ).
Ejercicio: Defina el número complejo z0=1-7*%i.
Compruebe que z0 por su conjugado es igual al módulo al cuadrado de z0.
2 Formas polar y trigonométrica de un número complejo.
Un número complejo se puede expresar mediante su forma polar a partir de su módulo y su
argumento. En Maxima la función polarform expresa un número complejo usando la
exponencial compleja, lo cual muestra el módulo y argumento del número complejo.
| (%i15) | polarform(1+%i); |
Recordamos que, por la definición de exponencial compleja, se tiene que
e^(theta) = cos(theta) + i*sen(theta).
| (%i16) | polarform( 5*( cos(%pi/3)+%i*sin(%pi/3) ) ); |
La siguiente expresión es el primer término de la famosa identidad de Euler (1707-1783)
que involucra cinco constantes que se emplean en matemáticas.
| (%i17) | %e^(%i*%pi)+1; |
Vemos en el siguiente ejemplo que polarform devuelve el argumento principal del número.
| (%i18) | polarform( 5*( cos(7*%pi/3)+%i*sin(7*%pi/3) ) ); |
A continuación introducimos en Maxima un mismo número complejo de tres maneras distintas.
En la forma binómica, definimos el número a partir de su parte real y su parte imaginaria.
| (%i19) |
a:1; b:1; wbinomica:a+b*%i; polarform(wbinomica); rectform(wbinomica); |
En la forma polar, introducimos el número a partir de su módulo y su argumento.
| (%i24) |
r:sqrt(2); theta:%pi/4; wpolar: r*%e^(%i*theta) ; polarform(wpolar); rectform(wpolar); |
Para introducir un número en forma trigonométrica, también partimos de su módulo y su
argumento.
| (%i29) |
r:sqrt(2); theta:%pi/4; wtrigonometrica:r*(cos(theta)+%i*sin(theta)); polarform(wtrigonometrica); rectform(wtrigonometrica); |
Aunque en este ejemplo los números se han definido usando variables previas, los números
complejos pueden introducirse directamente como se muestra a continuación.
| (%i34) |
w1:1+%i; w2:sqrt(2)*%e^(%i*%pi/4); w3:sqrt(2)*(cos(%pi/4)+%i*sin(%pi/4)); |
| (%i37) | rectform( w1-w2 ); |
Si queremos obtener la forma trigonométrica de un número complejo, nos basta con calcular
con Maxima su forma polar, y luego escribir nosotros la forma trigonométrica.
| (%i38) | polarform( sqrt(3)+%i ); |
| (%i39) | ztrigonometrica:2*( cos(%pi/6)+%i*sin(%pi/6) ); |
| (%i40) | rectform( ztrigonometrica ); |
3 Radicación de números complejos.
| (%i41) | kill(all); |
Para hallar una raíz n-ésima de un número complejo en Maxima podemos reproducir las fórmulas
que se dieron en clase, para lo cual necesitamos primero obtener el módulo y argumento de un
número complejo, y luego hallar el módulo y los argumentos de las raíces n-ésimas .
Una manera más sencilla de obtener las raíces n-ésimas consiste en usar la orden solve. Así
para hallar todas las raíces n-ésimas de un número z basta resolver una ecuación w^n=z.
| (%i1) | solve(w^4=%i,w); |
Si queremos el resultado en otra forma, basta usar la función correspondiente.
| (%i2) | rectform([ (-1)^(1/8)*%i, -(-1)^(1/8), -(-1)^(1/8)*%i, (-1)^(1/8)]); |
| (%i3) | polarform([ (-1)^(1/8)*%i, -(-1)^(1/8), -(-1)^(1/8)*%i, (-1)^(1/8)]); |
| (%i4) | rectform(solve(z^3=8,z)); |
Ejercicio : Halle las raíces octavas de la unidad.
(Solución: (i+1)/sqrt(2), i, (i-1)/sqrt(2), -1, -(i+1)/sqrt(2), -i, -(i-1)/sqrt(2), 1 )
Ejercicio : Halle los números complejos que cumplen que z^4=sqrt(2)/2+sqrt(2)/2*%i .
(Solución: -sin(pi/16)+i*cos(pi/16), -cos(pi/16)-i*sin(pi/16),
sin(pi/16)-i*cos(pi/16), cos(pi/16)+i*sin(pi/16) .)
Ejercicio : Halle los números complejos que cumplen la ecuación z^2 + i*z + 6 = 0.
(Solución: -3i, 2i ).
Ejercicio : Halle las soluciones de la ecuación x^2+x+1=0. Exprese las soluciones en forma
trigonométrica. Observe que las soluciones son complejas conjugadas.
(Sol. cos(-2pi/3)+isen(-2pi/3), cos(2pi/3)+isen(2pi/3) )
Los siguientes ejemplos, que no es necesario que aprenda, muestran la posición de las raíces
de un número complejo. Veremos la instrucción draw en la siguiente práctica para representar
funciones.
En el primer ejemplo vemos las raíces cuartas de la unidad.
| (%i5) | sol1:solve(z^4=1,z); |
| (%i6) | lista1:[%i,-1,-%i,1]; |
| (%i7) | xcoord:realpart(lista1); |
| (%i8) | ycoord:imagpart(lista1); |
| (%i9) |
wxdraw2d(xrange = [-2,2], point_type=filled_circle, yrange = [-1.1,1.1], point_size = 1.2, points(xcoord,ycoord) ); |
En el segundo ejemplo vemos las raíces quintas de la unidad imaginaria.
| (%i10) | sol2:solve(z^5=%i,z); |
| (%i11) |
lista2:[ (-1)^(1/10)*%e^((2*%i*%pi)/5), (-1)^(1/10)*%e^((4*%i*%pi)/5), (-1)^(1/10)*%e^(-(4*%i*%pi)/5), (-1)^(1/10)*%e^(-(2*%i*%pi)/5), (-1)^(1/10) ]; |
| (%i12) | xcoord:realpart(lista2); |
| (%i13) | ycoord:imagpart(lista2); |
| (%i14) |
wxdraw2d(xrange = [-2,2], point_type=filled_circle, yrange = [-1.1,1.1], point_size = 1.2, points(xcoord,ycoord) ); |
4 Ejercicios
Ej. Llame d1 a la primera cifra de su DNI o pasaporte. Considere el número
w1:d1+%i*sqrt(3)*d1.
Compruebe que el cubo de w1 dividido entre el cubo de su conjugado es igual a 1.
Ej. Halle las raíces cúbicas de la unidad imaginaria. Exprese los resultados en
forma polar.
(Sol. (r, theta) = (1, 5pi/6), (1,-pi/2), (1,pi/6) .)
Ej. Compruebe que si w=cos(alpha)+i*sen(alpha), el número (w-1)/(w+1) es
imaginario puro (se supone w distinto de -1, y de 1).
(Indicación: Halle la parte real de (w-1)/(w+1) y simplifique la expresión trigonométrica
que se obtiene.)
Ej. En el libro Ars Magna (Cardano, 1545) se describen los números
____
x1= 5 + \/-15 y
____
x2= 5 - \/-15 .
Compruebe que ambos números son imaginarios, que suman 10 y que su producto es 40.
Ej. Encuentre dos números que sumen 10 y que su producto sea 30.
(Indicación: Puede considerar que los números son x y 10-x )
(Sol. 5-sqrt(5)*i, 5+sqrt(5)*i .)
Ej. Un oscilador armónico amortiguado puede representarse como la parte real de zeta,
dada por las siguientes definiciones
beta:omega+epsilon*%i;
a:A*exp( (phi-%pi/2)*%i );
zeta:a*%e^(beta*%i*t);
Halle la parte real de zeta.
(Sol. A*%e^(-epsilon*t)*sin(omega*t+phi) .)
Ej. Considere z1=1+3i, z2=2+i. Calcule el módulo de z1+z2, y la suma de los módulos de z1
y z2. (Observe que |z1+z2|<=|z1|+|z2| ).
(Sol. 5, 5.39834563766817 ).
Ejercicio: Compruebe, sin resolver ninguna ecuación, que los siguientes números son raíces
terceras del número 8: z1=-1+sqrt(3)*i, z2=-1-sqrt(3)*i, z3=2.
Ejercicio : Considere los siguientes números complejos:
w1=cos(2pi/5)+i sin(2pi/5), w2=2^(1/12)*e^(i*pi/24), w3= 1-2*i .
Uno de ellos es inverso de 1/5+2/5*i, otro es raíz sexta de 1+i, y otro raíz quinta de la
unidad. Identifique cada uno de ellos.
(Sol. w1 es raíz quinta de 1, w2 es raíz sexta de 1+i, w3 es inverso de 1/5+2/5*i. )
Matemáticas II. Grado en Edificación. (A. Palomares.)