Práctica 5. Derivadas. Polinomio de Taylor.
1 Derivadas.
1.1 El comando diff.
Para calcular derivadas en Maxima usamos el comando diff con la sintaxis
diff(expresión, variable, número_de_veces) . Cuando se omite el número de veces, Maxima halla
la primera derivada.
| (%i1) | diff(%e^x,x); |
| (%i2) | diff(sin(x),x); |
| (%i3) | diff(x^2 * log(x),x); |
| (%i4) | diff(x^sin(x),x); |
Ejercicio. Halle la derivada de la función arcotangente.
(Sol. 1/(x^2+1) .)
En los dos siguientes ejemplos, la función no es derivable en x=0. Maxima halla la derivada,
pero no avisa de la derivabilidad de la función.
| (%i5) | diff(x^(1/3),x); |
| (%i6) | diff(abs(x),x); |
1.2 Definición de derivada. Derivadas laterales.
En ocasiones debemos recurrir a la definición de derivada usando límites. Como ejemplo vamos a
considerar la función valor absoluto.
| (%i7) | f(x):=abs(x); |
Sabemos que esta función no es derivable en x=0. Si calculamos el límite para intentar hallar
f'(0), no obtenemos un valor real.
| (%i8) | limit( (f(x)-f(0))/(x-0),x,0); |
Ahora vamos a calcular la derivada por la izquierda y por la derecha de la función valor
absoluto en el punto a=0.
| (%i9) | limit( (f(x)-f(0))/(x-0),x,0,minus); |
| (%i10) | limit( (f(x)-f(0))/(x-0),x,0,plus); |
Observamos que las derivadas laterales son distintas.
Tambien usaremos la definición de derivada para hallar la derivada en un punto de funciones
definidas a trozos.
Para la siguiente función el comando diff no halla la derivada.
| (%i11) | f(x):=if x<1 then %e^x else %e*x; |
| (%i12) | diff(f(x),x); |
Escogiendo el 'trozo' adecuado, podemos tener la derivada para x<1.
| (%i13) | f1(x):=%e^x; |
| (%i14) | diff(f1(x),x); |
Y también para x>1.
| (%i15) | f2(x):=%e * x; |
| (%i16) | diff(f2(x),x); |
Para determinar si la función es derivable, empleamos la definición de derivada.
| (%i17) | limit((f1(x)-f1(1))/(x-1),x,1,minus); |
| (%i18) | limit((f2(x)-f2(1))/(x-1),x,1,plus); |
Como los dos límites son iguales, podemos afirmar que la función es derivable en x=1.
Ej. Considere la función f(x)=
0 si x<=0,
x^2*cos(1/x) si x>0.
a) Compruebe que f es derivable por la izquierda y por la derecha en x=0.
b) Defina la función derivada de f.
c) Halle los límites laterales de f '(x) en x=0.
(Sol. a) Las dos derivadas laterales valen 0.
c) 0, no existe. )
(Observe que el límite de f'(x) no existe en x=0, pero f es derivable en ese punto)
1.3 Función derivada. Derivada de una funcion en un punto.
En esta sección veremos dos maneras de definir la función derivada. Esto nos servirá, por
ejemplo, para poder representarla o para evaluar la derivada de una función en un punto.
La primera manera es tan sencilla como hallar la derivada con diff y luego copiar y pegar
ese resultado en la definición de la función derivada.
| (%i19) | q(x):=x^3-6*x^2+9*x+1; |
| (%i20) | diff(q(x),x); |
| (%i21) | qprima(x):=3*x^2-12*x+9; |
| (%i22) | qprima(1); |
| (%i23) | qprima(2); |
| (%i24) | wxplot2d([q(x),qprima(x)], [x,0,4]); |
Ej. Defina la función fprima como la derivada de la función 2*x^3-3*x^2-36*x+7.
Halle fprima(-2), fprima(0) y fprima(3).
(Sol. 0, -36, 0)
Otra manera de definir la función derivada, sin cortar y pegar, requiere del comando define
con la sintaxis define( nombre_de_función, expresión ).
| (%i25) | g(x):=cos(%pi*x); |
| (%i26) | define( gprima(x) , diff(g(x),x) ); |
| (%i27) | gprima(1); |
| (%i28) | gprima(3/2); |
Ej. Emplee el comando define para definir la función derivada de f(x)=cos(3*acos(x)).
Evalúe la derivada en x=-1/2 y en x=1/2.
(Sol. 0, 0)
1.4 Recta tangente.
Para definir la recta tangente usamos la derivada de una función en un punto. En el siguiente
ejemplo hallamos la tangente a la gráfica de de la función seno en el punto a=0.
| (%i29) | f(x):=sin(x); |
| (%i30) | diff(f(x),x); |
| (%i31) | fprima(x):=cos(x); |
| (%i32) | fprima(0); |
| (%i33) | r(x):=f(0)+fprima(0)*(x-0); |
| (%i34) | r(x); |
Ej. Considere la función f(x)=x^3 - 3*x^2 + x .
a) Halle la derivada de f(x) en el punto a=1.
b) Halle la recta tangente a f(x) en el punto a=1.
c) Represente conjuntamente la recta tangente hallada y la función f(x) en el intervalo [0,2].
(Sol. a) -2, b) -2*(x-1)-1=-2x+1 )
2 Polinomio de Taylor.
La manera más sencilla de obtener el desarrollo de Taylor de una función consiste en usar el
comando taylor, con la siguiente sintaxis,
taylor( expresion, variable, punto, orden ). Por ejemplo, si queremos hallar el desarrollo de
Taylor de orden 5 de la función seno de x en en el punto a=0 escribimos la siguiente
instrucción.
| (%i35) | taylor(sin(x),x,0,5); |
Ej. Halle el desarrollo de Taylor de orden 7 correspondiente a la función f(x)=1/(1-x) en el
punto a=0.
(Sol. 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+... )
| (%i36) | taylor(1/(1-x),x,0,7); |
Ej. Halle el desarrollo de Taylor de orden 3 correspondiente a la función f(x)=log(x) en el
punto a=1.
(Sol. (x-1)-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3+... )
| (%i37) | taylor(log(x),x,1,3); |
Los puntos suspensivos que aparecen al final del desarrollo no forman parte del polinomio de
Taylor. Para evaluar en un punto o para representar el polinomio de Taylor se puede definir
una función sin los puntos suspensivos, por ejemplo copiando y pegando los términos del
polinomio.
| (%i38) | taylor(sin(x),x,0,5); |
| (%i39) | p(x):=x-x^3/6+x^5/120; |
| (%i40) | wxplot2d( p(x),[x,-3,3]); |
Ej. Halle el polinomio de Taylor de orden 6 de la función f(x)=cos(x) en el punto x=0.
Evalúe el polinomio obtenido en 1.
Represente conjuntamente el polinomio obtenido y la función coseno en el intervalo
[-3.5, 3.5].
(Sol. 389/720 )
Con el siguiente ejemplo vemos que Maxima usa la misma definición que vimos en clase, salvo
que en lugar de incluir una expresión para el resto, aparecen puntos suspensivos.
| (%i41) | kill(f,a); |
| (%i42) | taylor(f(x),x,a,5); |
Ej. Halle P(x) el polinomio de Taylor de orden 5 de la función f(x)=e^x en el punto a=0.
Represente gráficamente el error f(x)-P(x) en el intervalo [-1,1] y en el intervalo [-8,8].
¿Qué error se comete al considerar P(1) como una aproximación de f(1)?
¿Qué error se comete al considerar P(8) como una aproximación de f(8)?
(Sol. 0.0016151617923783, 2410.891320375062 )
Ej. Halle el polinomio de Taylor de orden 2 del coseno en el punto a=0.
Halle el polinomio de orden 3 del coseno en el punto a=0.
¿Por qué se obtiene el mismo resultado?
¿Puede decirse que el polinomio de Taylor de orden n es un polinomio de grado n?
(Sol. 1-x^2/2, 1-x^2/2 )
Ej. En este ejercicio usamos el polinomio de Taylor para expresar un polinomio en potencias
de (x-a).
a) Halle el polinomio de Taylor de orden 6 de f(x)=x^6 en el punto a=1.
b) Con la orden radcan, compruebe que el polinomio obtenido es igual a x^6.
Ej. Halle el polinomio de Taylor de orden 3 de la función raíz cúbica en el punto a=8.
Emplee el polinomio obtenido para hallar una aproximación de la raíz cúbica de 8.2 .
(Sol. 2 + (x-8)/12 - (x-8)^2/288 + (5*(x-8)^3)/20736,
2.016529706790124 )
Ej. Halle el polinomio de taylor de orden 4 de la función f(x)=log(x+1) en el punto a=0.
Emplee el polinomio para hallar una aproximación de log(1.1) y log(0.9).
(Indicación. ¿Para qué valor de x se tiene que log(x+1)=log(1.1)? )
(Sol. 0.095308333333333, -0.10535833333333 )
3 Ejercicios.
Ej. Halle los puntos de la gráfica de y=x^3+2*x^2+x-1 en los que la recta tangente es
horizontal.
(Sol. (x,y)=(-1, -1), (x,y)=(-1/3, -31/27) .)
Ej. Halle la derivada de la función g(x)=atan(x)+acot(x).
Represente la función g(x) en el intervalo [-3, 3].
¿A la vista de la gráfica diría que la función g es constante?
(Sol. 0)
Ej. Considere la siguiente función.
f(x)=
0 si x=0,
e^(-1/x^2) si x distinto de cero.
a) Halle el límite de la función cuando x tiende a cero.
b) ¿Es continua la función en x=0?
c) Usando el comando limit y la definición de derivada, determine si la función es derivable
en cero.
(Sol. a) 0. )
Ej. Halle el polinomio de Taylor de orden 3 la función g(x)=x^3+2*x^4 en el punto a=0.
Idem de orden 4 y orden 5.
(Sol. x^3, x^3+2*x^4, x^3+2*x^4 )
Ej. Hallar A y B para que la función sea derivable en todo su dominio.
h(x)=
A*sen(x-2), si x<2,
3x+B, si x>=2.
(Sol. A=3, B=-6 ).