Práctica 7. Integrales. Integración numérica.
En esta práctica estudiaremos como calcular integrales definidas e indefinidas. Además
veremos algunas formas de integración numérica mediante fórmulas elementales y también
mediante comandos específicos de Maxima.
1 Cálculo de primitivas (integral indefinida).
Para calcular una primitiva de una función usamos el comando integrate con la siguiente
sintaxis
integrate(función, variable) .
| (%i1) | integrate(cos(2*x),x); |
Comprobamos que al derivar la primitiva se obtiene la función original.
| (%i2) | diff(sin(2*x)/2,x); |
Ejercicio. Halle una primitiva de la función tangente.
(Sol. log(sec(x)) .)
El comando integrate no incluye la contante de integración, con lo que nos devuelve una
integral indefinida, salvo una constante.
Las funciones obtenidas son primitivas de las funciones introducidas, pero no se dice en qué
intervalo. Como ejemplo, sabemos que la función log(-x) es primitiva de la función 1/x en el
intervalo de los números estrictamente negativos. Sin embargo la primitiva de 1/x que
proporciona integrate sólo es valida en el intevalo de los números estrictamente positivos.
| (%i3) | f(x):=log(-x); |
| (%i4) | diff(f(x),x); |
| (%i5) | integrate(1/x,x); |
A continuación vemos un ejemplo en el que dos primitivas de una misma función se expresan de
forma diferente, son funciones diferentes y se aprecia la relevancia de la constante de
integración.
| (%i6) | integrate(sin(2*x),x); |
Así la función -cos(2*x)/2 es una primitiva de sin(2*x). También la función (sin(x))^2 es una
primitiva de sin(2*x), lo comprobamos a continuación con el comando diff.
| (%i7) | diff( (sin(x))^2, x); |
| (%i8) | trigreduce( 2*cos(x)*sin(x) ); |
Las dos primitivas se diferencian en una constante.
| (%i9) | trigreduce( -cos(2*x)/2-(sin(x))^2 ); |
2 Integral definida.
El comando integrate tambien nos permite calcular integrales indefinidas si utilizamos
la sintaxis
integrate(función, variable, a, b) donde a y b son los límites de integración.
| (%i10) | integrate (1-x^2,x,-1,1); |
Podemos poner los límites de integración al revés, con lo que la integral cambia de signo.
| (%i11) | integrate(1-x^2,x,1,-1); |
Ejercicio. Halle la integral definida de la función sqrt(1-x^2) entre x=-1 y x=1 .
(Esta integral halla el área de media circunferencia de radio 1)
(Sol. pi/2 ).
Vemos ahora un ejemplo en el que se halla el área de un recinto plano, concretamente el área
que delimitan la función seno entre 0 y 2pi, y el eje horizontal.
| (%i12) | wxplot2d(sin(x) ,[x,0,2*%pi]); |
Este área no puede calcularse con la siguiente instrucción ya que una parte de la función es
negativa.
| (%i13) | integrate(sin(x),x,0,2*%pi); |
Una manera de plantear el cálculo del área pedida consiste en considerar la función en valor
absoluto.
| (%i14) | wxplot2d(abs(sin(x)),[x,0,2*%pi]); |
Aunque el planteamiento es correcto, Maxima devuelve un resultado incorrecto de la integral.
(El valor correcto de la integral definida es 4).
| (%i15) | integrate(abs(sin(x)),x,0,2*%pi); |
Para obtener el resultado correcto debemos conocer en qué intervalos la función es positiva y
en qué intervalos es negativa.
| (%i16) | integrate(sin(x),x,0,%pi)+integrate(-sin(x),x,%pi,2*%pi); |
Ejercicio. Halle el área que delimitan la función x^2+x-1, el eje horizontal y las rectas
x=-2 y x=2.
(La siguiente instrucción, que no es necesario que estudie, dibuja el área pedida)
(Sol. (5^(3/2)+4)/3 = 5.060113295832984 )
| (%i17) | wxdraw2d(filled_func=0,xaxis=true,explicit(x^2+x-1,x,-2,2)); |
El comando integrate tampoco nos permite hallar la integral de una función a trozos.
| (%i18) | h(x):=if x<0 then x+2 else -x+2; |
| (%i19) | wxplot2d(h(x),[x,-2,2]); |
| (%i20) | integrate(h(x),x,-2,2); |
Debemos hacer por separado la integral de cada trozo.
| (%i21) | integrate(x+2,x,-2,0)+integrate(-x+2,x,0,2); |
Ejercicio. El arco gótico 'quinto acuto' está formado por dos arcos de circunferencia cuyo
radio es cuatro quintos de la luz del arco. La siguiente función se ha construido siguiendo
esta descripción. Halle el área que delimitan la función y el eje horizontal, esto es la
integral definida de f(x) entre 0 y 5.
(Sol. exacta -16*asin(3/8)+8*%pi-(3*sqrt(55))/4 ,
aproximada 13.42024397146637 )
| (%i22) | f(x):=if x<5/2 then sqrt(16-(x-4)^2) else sqrt(16-(x-1)^2); |
| (%i23) | wxplot2d(f(x),[x,0,5], [gnuplot_preamble, "set size ratio -1"]); |
3 Fórmulas elementales de integración numérica.
| (%i24) | integrate(sqrt(1+x^3),x,1,3); |
| (%i25) | integrate(exp(-x^2),x,0,4); |
Hay ocasiones en las que una integral definida no puede hallarse de forma exacta, por ejemplo
porque no se puede (o no sabemos) hallar una primitiva, o porque sólo se conoce el valor de la
función en algunos puntos. En estas ocasiones resulta conveniente usar algún método para
aproximar el valor de la integral definida.
Las fórmulas de integración numérica que vamos a ver en esta sección nos permiten aproximar el
valor de una integral definida sumando áreas de figuras geométricas sencillas (rectángulos o
trapecios).
Para efectuar estas sumas emplearemos el comando sum de Maxima. La sintaxis es
sum(expresión, índice, indice_inicial, indice_final ). Donde la expresión depende de la
variable índice y toma los valores desde indice_inicial hasta indice_final. Vemos a
continuación un par de ejemplos.
Si queremos sumar 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10, pediremos a Maxima que sume los valores de una
variable i, de forma que i=1,2,...,10 como en la siguiente instrucción.
| (%i26) | sum( i , i,0,10); |
Para sumar los cuadrados de los 10 primeros números naturales, tendremos que sumar los valores
de la expresión i^2, donde i=1,2,...,10 .
| (%i27) | sum( i^2 , i,1,10); |
Ejercicio: Sume los valores de los cubos de los 20 primeros números naturales.
(Sol. 44100 )
Las fórmulas de integración numérica que vamos a describir en esta práctica dividen el
intervalo [a,b] en n subintervalos iguales.
Por ejemplo si queremos hallar la integral definida en el intervalo [1,3] y dividimos este
intervalo en 50 subintervalos, definimos las siguientes variables.
| (%i28) |
a:1.0; n:50; b:3.0; |
Con estos datos, cada uno de los 50 subintervalos tiene longitud (b-a)/n .
| (%i31) | h:(b-a)/n; |
Los extremos de estos subintervalos (que llamamos nodos) pueden describirse de la siguiente
forma:
a, a+h, a+2h, a+3h, ..., a+(n-1)h, a+nh=b .
En el ejemplo concreto que estamos considerando, los valores son:
1, 1.04, 1.08, 1.12, ..., 2.96, 3 .
Con estos nodos, el primer subintervalo es [a, a+1*h], el segundo es [a+1*h, a+2*h], el
tercero es [a+2*h, a+3*h] y así el intervalo número i, el i-ésimo es [a+(i-1)*h, a+i*h].
Consideramos el rectángulo que tiene por base el intervalo [a+(i-1)*h, a+i*h] y por altura
la que indica la función evaluada en el nodo izquierdo, esto es, f(a+(i-1)*h) .
El área de este rectángulo es base * altura = h * f(a+(i-1)*h) .
Si sumamos el área de todos estos rectángulos tenemos una aproximación de la integral definida
que llamamos fórmula de los extremos izquierdos.
| (%i32) | f(x):=sqrt(1+x^3); |
| (%i33) | sum( h*f(a+(i-1)*h) , i , 1 , n ); |
Ejercicio. Aproxime la integral definida de la función sqrt(1+x^3) entre x=0.0 y x=4.0
mediante la fórmula de los extremos izquierdos, considerando 10, 25, 50 y 100 subintervalos.
(Sol. 12.61024469701097, 13.42426912125635, 13.70199388697196, 13.84204814533432 )
Si en la fórmula que hemos visto, hubiéramos considerado como altura del rectángulo el valor
de la función en el nodo derecho, esto es, f(a+i*h), el área de cada rectángulo sería
base*altura = h*f(a+i*h), y tendríamos la fórmula de los extremos derechos.
| (%i34) |
a:1.0; n:50; b:3.0; h:(b-a)/n; f(x):=sqrt(1+x^3); |
| (%i39) | sum( h*f(a+i*h) , i , 1 , n ); |
Ejercicio. Aproxime la integral definida de la función exp(-x^2) entre x=0.0 y x=4.0
mediante la fórmula de los extremos derechos, considerando 10, 25, 50 y 100 subintervalos.
(Sol. 0.68622692384901, 0.80622691891791, 0.84622691581377, 0.86622691392042 )
Si en las fórmulas hubiéramos considerado como altura de los rectángulos el valor de la
función en el punto medio del subintervalo, esto es, f(a+(i-1/2)*h) tendríamos la fórmula del
punto medio o regla del punto medio.
| (%i40) |
a:1.0; n:50; b:3.0; h:(b-a)/n; f(x):=sqrt(1+x^3); |
| (%i45) | sum( h*f(a+(i-1/2)*h) , i , 1 , n ); |
La cuarta y última fórmula de la sección considera en cada subintervalo el área del trapecio
formado por el nodo a+(i-1)*h, el nodo a+i*h y el valor de la función en estos nodos, esto es
f(a+(i-1)*h) y f(a+i*h). El área de este trapecio puede calcularse como
base*(semisuma de las alturas), esto es h*( f(a+(i-1)*h)+f(a+i*h) )/2 .
Puede probarse que, si sumamos todas estas áreas, resulta la siguiente fórmula.
| (%i46) | (h/2)*( f(a)+f(b)+2*sum( f(a+i*h),i,1,n-1 ) ); |
4 Comandos para integración numérica.
En esta sección veremos dos comandos de Maxima que permiten hallar integrales definidas
usando métodos de integración numérica.
4.1 El comando quad_qags.
El comando quad_qags emplea un algoritmo adaptativo para hallar una integral definida.
Su sintaxis es
quad_qags (función, variable, a, b) donde a y b son los límites de integración.
Por ejemplo, para hallar la integral definida de la función exp(-x^2) entre x=1 y x=3
usamos la siguiente instrucción.
| (%i47) | quad_qags( exp(-x^2) , x, 1, 3 ); |
La salida de la instrucción contiene cuatro números. El primero es el valor que buscábamos,
que es la aproximación a la integral definida. El segundo es una estimación del error absoluto
que se comete (vemos que es un número pequeño). El tercero es el número de evaluaciones que se
han hecho del integrando. El cuarto es un código de error, que si vale cero indica que no ha
habido ningún error (otros códigos pueden consultarse en la ayuda de Maxima).
Ejercicio. Halle la integral definida de la función sin(x)/x entre x=%pi y x=2*%pi.
a) usando el comando integrate .
b) usando el comando quad_qags .
(Sol. a) ..., b) -0.43378547584984 )
4.2 El comando romberg.
El método de Romberg permite también hallar una aproximación a la integral definida de una
función en un intervalo. La sintaxis es similar al comando anterior,
romberg (función, variable, a, b) donde a y b son los límites de integración.
| (%i48) | romberg ( sin(x)/x , x, %pi, 2*%pi ); |
Este comando sólo devuelve un valor, que es una aproximación al valor de la integral definida.
Ejercicio. Usando el comando romberg aproxime el valor de la integral definida de
la función 1/sqrt(1-x^2) entre -0.99 y 0.99 .
(Sol. 2.85851947267857 )
5 Ejercicios
Ejercicio. Defina a1, a2 y g(x) como sigue. Compruebe que g(x) es una primitiva de
1/(x^4+3*x^2+1). Intente hallar una primitiva de 1/(x^4+3*x^2+1) usando el comando integrate.
| (%i49) | a1:sqrt(2)/sqrt(3-sqrt(5)); |
| (%i50) | a2:sqrt(2)/sqrt(3+sqrt(5)); |
| (%i51) | g(x):=a1/sqrt(5)*atan(a1*x)-a2/sqrt(5)*atan(a2*x); |
Matemáticas II. Grado en Edificación. (A. Palomares.)