Práctica 9. Extremos de funciones de varias variables.
1 Derivadas parciales de orden superior.
Para hallar derivadas de orden superior de una función de varias variables usamos el comando
diff con la siguiente sintaxis
diff(función, x1, n1, x2, n2,... xm, nm)
que deriva la función nm veces respecto a la variable xm, y continúa derivando hasta derivar
n2 veces respecto a x2 y n1 veces respecto a x1.
Para ver unos ejemplos, definimos una función de dos variables.
| (%i1) | f(x,y):=x^2+7*x*y^2; |
Hallamos la derivada segunda de f respecto de x (dos veces).
| (%i2) | diff(f(x,y),x,2); |
Hallamos la derivada segunda de f, respecto de x y de y (deriva una vez respecto de y, y una
vez respecto de x).
| (%i3) | diff(f(x,y),x,1,y,1); |
Hallamos la derivada segunda de f respecto de y (dos veces).
| (%i4) | diff(f(x,y),y,2); |
Por último vemos una derivada de orden 3, derivamos f respecto de y dos veces, y respecto de x
una vez.
| (%i5) | diff(f(x,y),x,1,y,2); |
Ej. Halle la derivada quinta de g(x,y)=e^(7*x)*e^y, respecto de x dos veces y respecto de y tres
veces.
(Sol. 49*%e^(y+7*x) .)
2 Matriz hessiana y hessiano.
Maxima cuenta con un comando que permite hallar la matriz hessiana de una función.
La sintaxis es
hessian( función, variables )
| (%i6) | f(x,y):=x^2+7*x*y^2; |
| (%i7) | hessian(f(x,y),[x,y]); |
Ej. Halle la matriz hessiana de la función g(x,y)=sen(x*y)+y.
(Sol. matrix([-y^2*sin(x*y),cos(x*y)-x*y*sin(x*y)],[cos(x*y)-x*y*sin(x*y),-x^2*sin(x*y)]) .)
Como en otras ocasiones, para evaluar la matriz hessiana en uno o varios puntos, es conveniente
usar el comando define.
| (%i8) | define(h(x,y),hessian(f(x,y),[x,y])); |
| (%i9) | h(0,1); |
Para hallar el hessiano de una función en un punto, basta hallar el determinante de la matriz
hessiana.
| (%i10) | determinant( h(0,1) ); |
3 Extremos relativos.
En esta sección mostramos como hallar los extremos relativos de una función de dos variables.
Nos planteamos hallar los extremos relativos de la función
f(x,y)=x^2 + y^2-2*log(x)-18*log(y)
En primer lugar definimos la función f
| (%i11) | f(x,y):=x^2 + y^2-2*log(x)-18*log(y); |
En este caso, la función está definida para valores x>0 y valores y>0.
Para poder determinar los puntos críticos necesitamos el gradiente de la función f.
| (%i12) | jacobian([f(x,y)],[x,y]); |
Vemos que la parcial de f con respecto a x es 2*x-2/x y que la derivada de f con respecto a y
es 2*y-18/y.
Los puntos críticos serán aquellos que hagan que el gradiente valga (0,0), esto es, que las dos
parciales valgan cero.
Para resolver ese sistema de ecuaciones usamos el comando algsys.
| (%i13) | algsys([2*x-2/x=0,2*y-18/y=0],[x,y]); |
Observamos de la salida que tenemos 4 puntos críticos, que son
[x=1,y=-3]
[x=-1,y=-3]
[x=1,y=3]
[x=-1,y=3] .
De todos estos puntos, sólo el [x=1,y=3] está en el dominio de la función, es el único punto
crítico de f.
Para determinar si el punto crítico hallado es extremo o no, debemos estudiar el hessiano de la
función f.
| (%i14) | define(h(x,y),hessian(f(x,y),[x,y])); |
Evaluamos el hessiano en el punto crítico.
| (%i15) | h1:h(1,3); |
| (%i16) | determinant(h1); |
Como el determinante de la matriz hessiana es 16>0, deducimos que hay extremo relativo en ese
punto. Y comoademás el primer elemento de la matriz hessiana es 4>0, deducimos que en x=1, y=3
hay un mínimo relativo.
Ej. Estudie los extremos relativos de la función f(x,y)=e^(x-y)(x^2-2*y^2) .