Catenoides

cat[c_, m_][u_] := 1/Sqrt[c] Cosh[Sqrt[c] u + m]

catenoide[c_, m_][u_, 
        theta_] := {cat[c, m][u] Cos[theta], cat[c, m][u] Sin[
            theta], u}

Fijando c (c=1) y variando m: las catenoides resultantes son traslaciones unas de otras

familia1 = 
        Table[ParametricPlot3D[catenoide[1, m][u, 
              theta], {u, -m - 2, -m + 2}, {theta, 0, 2  Pi}, 
            ViewPoint -> {1, 1, 0}, Compiled -> False], {m, 0, 
            2}];

Show[familia1]

familia12 = 
        Table[Plot[cat[1, m][u], {u, -m - 2, -m + 2}], {m, 0, 
            2}];

Show[familia12]

Fijando m (m=0) y variando c: las catenoides resultantes son homotéticas unas de otras

familia2 = 
      ParametricPlot3D[
        Table[catenoide[c, 0][u, theta], {c, 1, 16, 4}] // 
          Evaluate, {u, -1, 1}, {theta, 0, 2  Pi}, 
        ViewPoint -> {1, 1, 0.2}, Compiled -> False]

familia22 = 
      Plot[Table[cat[c, 0][u], {c, 1, 16, 4}] // Evaluate, {u, -1, 
          1}]

Superficie de Scherck

Las superficies de Scherck son grafos de la función z=Log[Cos[c y+d]/Cos[c x+e]]

Haciendo d=e=0 y variando c

scherck[c_][x_, y_] := {x, y, 
        Log[Cos[c y]/Cos[ c x]]}

familias1 = 
      Table[ParametricPlot3D[
          Evaluate[scherck[c][x, y]], {x, -Pi/(2  c), 
            Pi/(2  c)}, {y, -Pi/(2  c), Pi/(2  c)}], {c, 1, 
          2,  .5}]

Show[familias1]

Haciendo  c=1,e=0y variando d

scherck2[d_, e_][x_, y_] := {x, y, 
        Log[Cos[y + d]/Cos[x + e]]}

familias2 = 
      Table[ParametricPlot3D[
          Evaluate[scherck2[d, 0][x, y]], {x, -Pi/2, 
            Pi/2}, {y, -Pi/2 - d, Pi/2 - d}], {d, 0, 2}]

Show[familias2]

Haciendo c=1, d=0 y variando e

familias3 = 
      Table[ParametricPlot3D[
          Evaluate[scherck2[1, e][x, y]], {x, -Pi/2 - e, 
            Pi/2 - e}, {y, -Pi/2 - 1, Pi/2 - 1}], {e, 0, 2}]

Show[familias3]