Superficies cíclicas con curvatura media constante y no cero

Se prueba que las únicas superficies de curvatura media constante no nula y construidas por una familia de círculos en planos paralelos, son las superficies de revolución

X[t_, s_] := {a[t] + r[t] Cos[s], b[t] + r[t] Sin[s], t}

EE[t_, s_] := 
        D[X[x, y], x] . D[X[x, y], x] /. {x -> t, 
            y -> s};
FF[t_, s_] := 
        D[X[x, y], x] . D[X[x, y], y] /. {x -> t, 
            y -> s};
GG[t_, s_] := 
        D[X[x, y], y] . D[X[x, y], y] /. {x -> t, 
            y -> s};
W[t_, s_] := EE[t, s] GG[t, s] - FF[t, s]^2

ee[t_, s_] := 
        Det[{D[X[x, y], x], D[X[x, y], y], 
              D[D[X[x, y], x], x]}] /. {x -> t, 
            y -> s};
ff[t_, s_] := 
        Det[{D[X[x, y], x], D[X[x, y], y], 
              D[D[X[x, y], x], y]}] /. {x -> t, 
            y -> s};
gg[t_, s_] := 
        Det[{D[X[x, y], x], D[X[x, y], y], 
              D[D[X[x, y], y], y]}] /. {x -> t, 
            y -> s};

La expresión de curvatura media se eleva al cuadrado y se obtiene un polinomio en Cos[ns], Sin[ns], cuyos coeficientes deben ser cero.

media = 
        TrigReduce[(ee[t, s] GG[t, s] - 2  ff[t, s] FF[t, s] + 
                  gg[t, s] EE[t, s])^2 - W[t, s]^3];

Simplify[Coefficient[media, Cos[6  s], 1]]

Simplify[Coefficient[media, Sin[6  s], 1]]

Simplify[Coefficient[media, Cos[5  s], 1]]

Simplify[Coefficient[media, Sin[5  s], 1]]