Tema 3. Superficies

Esfera centrada en el origen (como grafo, como superficie de revolución, a través de la proyección estereográfica)

Como grafo (y luego, en coordenadas polares)

ee1 = 
        ParametricPlot3D[{x, y, Sqrt[1 - x^2 - y^2]}, {x, -1, 
            1}, {y, -1, 1}, 
          PlotPoints -> 50];
ee2 = 
      ParametricPlot3D[{x, y, -Sqrt[1 - x^2 - y^2]}, {x, -1, 
          1}, {y, -1, 1}, PlotPoints -> 50]

Show[ee1, ee2]

e1 = 
      ParametricPlot3D[{u Cos[v], u  Sin[v], Sqrt[1 - u^2]}, {u, 0, 
          1}, {v, 0, 2  Pi}, ViewPoint -> {1, 2, 1}]; 
    e2 = ParametricPlot3D[{u Cos[v], u  Sin[v], -Sqrt[1 - u^2]}, {u, 
          0, 1}, {v, 0, 2  Pi}, ViewPoint -> {1, 2, 1}]

Show[e1, e2]

Como superficie de revolución

ParametricPlot3D[{Cos[t] Cos[theta],  Cos[t] Sin[theta],  
        Sin[t]}, 
{t, -Pi/2, Pi/2}, {theta, 0, 
        2  Pi},  ViewPoint -> {1, 2, 1}]

Con la proyección estereográfica

a = 3; 
    ParametricPlot3D[{2  u/(1 + u^2 + v^2), 
        2  v/(1 + u^2 + v^2), (u^2 + v^2 - 1)/(1 + u^2 + 
              v^2)}, 
{u, -a, a}, {v, -a, a}, 
      PlotRange -> All, 
      PlotPoints -> 50];
a = 7; 
    ParametricPlot3D[{2  u/(1 + u^2 + v^2), 
        2  v/(1 + u^2 + v^2), (u^2 + v^2 - 1)/(1 + u^2 + 
              v^2)}, 
{u, -a, a}, {v, -a, a}, 
      PlotRange -> All, PlotPoints -> 50]

Superficies que son grafos de funciones

f[x_, y_] := x^2 + y^2

a1 = -1 ;
a2 =  1;
b1 =  -1;
b2 =  1;

ParametricPlot3D[{u, v, f[u, v]}, {u, a1, a2}, {v, b1, b2}]

Para probar:
plano: f[x,y]=x+y
paraboloide hiperbólico: f[x,y]=x^2-y^2
cono: f[x,y]=Sqrt[x^2+y^2]

Superficies de revolución

f[t_] := t;
g[t_] := Sin[t]

t1 = 0;
t2 = 4 Pi

ParametricPlot3D[{f[t] Cos[theta], f[t] Sin[theta], g[t]}, {theta, 0, 
        2  Pi}, {t, t1, t2}, AspectRatio -> Automatic, 
      ViewPoint -> {1, 1, 1}, PlotRange -> All, 
      PlotPoints -> 50]

Para probar. 
paraboloide:    f[t]=t, g[t]=t^2
hiperboloide de una hoja: f[t]=Cosh[t], g[t]=Sinh[t]
hiperboloide de dos hojas: f[t]= Sinh[t], g[t]=Cohs[t]
cilindro: f[t]=1,g[t]=t
cono= f[t]=t,g[t]=-t+1
elipse: f[t]= 2 Cos[t], g[t]= Sin[t]
toro: f[t]=2+ Cos[t],g[t]=Sin[t]