3.1 Caso de una cadena radiactiva

$$A \longrightarrow B\longrightarrow C \longrightarrow D\longrightarrow \cdots$$

Condición inicial:

$$\begin{eqnarray*} N_A(0) &=& N_0 \\ N_B(0) &=& N_C(0)=N_D(0)=\cdots=0 \end{eqnarray*}$$

Núcleo padre:

$$dN_A(t)= -\lambda_A N_A(t)dt \Longrightarrow N_A(t)=N_0 e^{-\lambda_A t}$$

Núcleo hijo:

$$dN_B = \lambda_A N_Adt-\lambda_B N_B dt \Longrightarrow \frac{dN_B}{dt}=\lambda_AN_A-\lambda_BN_B$$

Probamos una solucion:

$$\begin{eqnarray*} N_B &=& \alpha e^{-\lambda_At}+\beta e^{-\lambda_B t} \\ \fra... ...\alpha\lambda_A e^{-\lambda_At}-\beta \lambda_B e^{-\lambda_B t} \end{eqnarray*}$$

Queda la ecuación:

$$\begin{eqnarray*} -\alpha\lambda_A e^{-\lambda_At}-\beta \lambda_B e^{-\lambda_B... ...bda_B-\lambda_A)e^{-\lambda_A t}= \lambda_A N_0 e^{-\lambda_A t} \end{eqnarray*}$$

El valor de $\beta$ se obtiene imponiendo $N_B(0)=0$.

$$N_B(0)=\alpha+\beta \Longrightarrow \beta=-\alpha$$

Solución:

Actividad: