3.3.6 Ejemplo

$^{191}_{76}$Os (15.4 d) $\longrightarrow$ $^{191m}_{77}$Ir (4.94s) $\longrightarrow$ $^{191}_{77}$Ir

Se dispone de 1 mCi de $^{191}$Os.

a) ¿Cuántos gramos de $^{191}$Os hay en $t=0$?

b) ¿Cuántos mCi de $^{191m}$Ir hay en $t=25d$?

c) ¿Cuantos átomos de $^{191m}$Ir se desintegran entre $t=100$s y $t=102$s?

d) ¿Cuántos átomos de $^{191m}$Ir se desintegran entre $t=30$s y $t=4$d?

Solución.

a) Actividad específica del $^{191}$Os.

$$A_E =\frac{226}{191}\frac{1600\times 365 d}{15.4d}\,{\rm Ci/g} =4.49\times 10^4\,{\rm Ci/g}$$

por tanto la masa de la muestra es

$$M=\frac{1\,{\rm mCi}}{4.49\times 10^{4}\,{\rm Ci/g}} =2.23\times 10^{-8}\,{\rm g}$$

b) $T_A\gg T_B\Longrightarrow$ equilibrio secular en unos segundos.

$$A_B= \frac{\lambda_B}{\lambda_B-\lambda_A}A_A \left[ 1-e^{-(... ...B-\lambda_A)t} \right] \simeq \left[ 1-e^{-\lambda_Bt} \right]$$

Las actividades difieren en un 1% cuando:

$$\begin{eqnarray*} e^{-\lambda_Bt} &=& 0.01 \Longrightarrow e^{\lambda_Bt}=100 ... ... 10}{\lambda_B} =\frac{2\ln 10}{\ln 2}T_B =6.64 T_B =33\,{\rm s} \end{eqnarray*}$$

$\Longrightarrow$ para $t=25$d:

$$A_{\rm Ir}=A_{\rm Os}=1\,{\rm mCi}\times \exp\left(-\frac{0.693}{15.4\,\rm d}\times 25\,{\rm d}\right) =0.325\,{\rm mCi}$$

Usando la fórmula exacta se obtiene el mismo resultado

c) Sea $D_B(t_1,t_2)=$ nº desintegraciones de átomos de $B$ entre $t_1$ y $t_2$.

$$B_B(t_1,t_2)=\int_{t_1}^{t_2}A_B(t)dt = \int_{t_1}^{t_2}\fra... ...\lambda_A} N_0\left(e^{-\lambda_A t}-e^{-\lambda_B t}\right)dt$$

Para $t=100,102$s se ha alcanzado el equilibrio secular y la actividad del $^{191}$Os no habrá disminuido apreciablemente:

$$\begin{eqnarray*} B_B(t_1,t_2) &\simeq& \int_{t_1}^{t_2}A_A(t)dt \simeq A_A(0)... ...s 10^{-3}\times 2 \\ &=& 7.4\times 10^7 \mbox{desintegraciones} \end{eqnarray*}$$

d) Entre $t=30$d y $t=40$d la actividad del Os no es constante, pero hay equilibrio secular:

$$\begin{eqnarray*} N_B(t_1,t_2) &=& \int_{t_1}^{t_2} A_A(t)\,dt =A_A(0) \int_{t... ...times 0.0939 \\ &=& 6.66\times 10^{12}\,\mbox{desintegraciones} \end{eqnarray*}$$