ÁLGEBRA BÁSICA

PROGRAMA DE TEORÍA

1. ARITMÉTICA ENTERA.
   El anillo ordenado de los números enteros. Principio del mínimo y del máximo. Divisibilidad. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Factorización. Elementos irreducibles y primos. Teorema fundamental de la aritmética. División euclídea. Algoritmo de Euclides. Igualdad de Bezout. Algoritmo extendido de Euclides. Ecuaciones diofánticas. Congruencias. Los anillos Z_n. Resolución de sistemas de ecuaciones en congruencias.

2. ANILLOS.
   Concepto de anillo. Ejemplos. El cuerpo de los racionales. Cuerpo de fracciones de un dominio de integridad. Divisibilidad y factorización.

3. ANILLOS EUCLÍDEOS.
   Dominios euclídeos. Ejemplos. Aritmética en dominios euclídeos. Congruencias en dominios euclídeos. Teorema chino de los restos.

4. POLINOMIOS.
   Factorización en anillos de polinomios. Polinomios simétricos. Resultante y discriminante.

5. GRUPOS ABELIANOS.
   Grupos abelianos. Subgrupos. Cocientes. Suma directa de grupos abelianos. Grupos cíclicos. Equivalencia de matrices con elementos en Z. Forma normal de Smith. Factores invariantes y divisores elementales. Grupos abelianos libres. Presentación de grupos abelianos finitamente generados. Estructura de grupos abelianos finitamente generados.

6. FORMAS CANÓNICAS.
   Equivalencia de matrices con elementos en un dominio euclídeo. Forma normal de Smith. Factores invariantes y divisores elementales. Endomorfismos de un espacio vectorial. Polinomios anuladores y mínimos. Descomposición en subespacios invariantes. Descomposición en subespacios cíclicos. Formas normales de Fröbenius y Weierstrass. Determinación de factores invariantes y divisores elementales. Forma normal de Jacobson-Jordan.

OBJETIVOS Y DESTREZAS

1. ARITMÉTICA ENTERA.
   Se pretende con este tema que el alumno asiente las bases de la divisibilidad de números enteros, formalizando la propiedad de factorización en irreducibles  que para estos números se tiene. Como destrezas que se deben adquirir destacamos el cálculo de máximo común divisor y mínimo común múltiplo así como la utilización del algoritmo extendido de Euclides para expresar el máximo común divisor de dos números como una combinación lineal de estos. Como aplicación de estas destrezas se requerirá  que el alumno sea capaz de plantear y resolver sistemas de congruencias y ecuaciones diofánticas así como que se familiarice con operar módulo n.

2. ANILLOS
   Una vez establecidas las bases de la aritmética entera, se pretende con este tema que el alumno sea capaz de trabajar con una aritmética establecida en otros  contextos. Entre ellos destacamos los anillos Z_n de restos módulo n y los anillos de números .  El siguiente objetivo será el estudio de las unidades de estos anillos y los problemas de resolución de ecuaciones del tipo ax=b. Veremos como es posible extender ciertos anillos añadiendo los inversos de los elementos que no los tengan y presentaremos la construcción del cuerpo de fracciones.

3. ANILLOS EUCLIDEOS
   Abierta la posibilidad de aritméticas en anillos que eran desconocidos  hasta ahora para el alumno, abordamos en este tema los problemas de divisibilidad y factorización en tales anillos. Como destrezas mínimas que se requieren dentro de este tema destacamos el manejo del algoritmo extendido de Euclides en anillos de números y la resolución de sistemas de congruencias en estos anillos.    

4. POLINOMIOS.
   Introducimos al alumno con este tema en los anillos de polinomios, presentando aquí  los problemas de divisibilidad y factorización .  Se requerirá del alumno  que sepa aplicar los criterios elementales sobre irreducibilidad de polinomios.  En la segunda parte del tema se trabajará en anillos de polinomios en varias indeterminadas. Se requerirá del alumno que sepa discernir si un polinomio es simétrico y que sepa  calcular una expresión simétrica en las raíces de un polinomio sin necesidad de conocer estas. en particular que aplique los métodos de cálculo de la  resultante de dos polinomios y el discriminante de un polinomio.

5. GRUPOS ABELIANOS.
   Comenzamos este tema estudiando grupos cíclicos y grupos abelianos libres. Daremos la definición de presentación de un grupo finitamente generado y veremos como se puede modificar una presentación de un grupo actuando sobre la matriz de relaciones con el fin de obtener presentaciones lo más simples posibles. Como objetivos fundamentales se pretende que el alumno sepa calcular las descomposiciones cíclica y cíclica primaria de un grupo y sepa determinar el número de grupos abelianos distintos (salvo isomorfismo) que hay de un determinado orden.
   

6. FORMAS CANÓNICAS.
   Entramos con este tema en el estudio de matrices, introduciremos las nociones de equivalencia y semejanza de matrices y plantearemos el problema de encontrar los tipos más simples dentro de la clase de equivalencia y semejanza de una matriz. La principal destreza que se requerirá en este tema consistirá en el cálculo de la forma normal de Smith de una matriz (con coeficientes tanto en anillos de números como en anillos de polinomios) así como el cálculo de las fórmas canónicas de  Fröbenius, Weierstrass y Jacobson-Jordan para matrices con coeficientes en un cuerpo.

PRÁCTICAS DE ORDENADOR

BIBLIOGRAFÍA

CRITERIOS DE EVALUACIÓN