ECUACIONES ALGEBRAICAS

PROGRAMA DE TEORÍA

1. INTRODUCCIÓN A LOS GRUPOS FINITOS
   1. Preliminares: Los anillos Z_n. La función de Euler.
   2. Grupos: Definición y ejemplos.
      Concepto de grupo y primeras propiedades. Los grupos de unidades Z_n^x . Los grupos Cn de raíces complejas de la unidad. Los grupos GL_n(K) de matrices invertibles. Los grupos de permutaciones S_n. Los grupos diédricos D_n. El grupo Q₂ de los cuaternios. El grupo de Klein. Grupos isomorfos.
   3. Subgrupos. Ordenes e índices.
      Concepto y primeras propiedades. Los grupos alternados A_n. El retículo de subgrupos de un grupo. Conjuntos de generadores. Ordenes e índices de subgrupos. Subgrupos cíclicos. Algunos ejemplos de retículos de subgrupos.
   4. Homomorfismos. Grupos cocientes. Teoremas de isomorfía.
      Concepto de homomorfismo de grupos. Homomorfismos y subgrupos. Subgrupos normales y grupos cocientes. Teoremas de isomorfía.
   5. Grupos resolubles.
      Series de grupos finitos. Series de composición. Grupos simples. El teorema de Jordan-Hölder. Grupos resolubles. Propiedades. Teorema de Abel. La no resolubilidad de S_nsi n >= 5.
   6. Subgrupos de orden potencias de primos.
      Grupos actuando sobre conjuntos. Orbitas. La acción de conjugación. Teorema de Burnside sobre p-grupos. Teoremas de Sylow sobre p-subgrupos. Criterios de resolubilidad en función del orden de un grupo.
   7. Presentaciones de grupos.
      Grupos definidos por generadores y relaciones. Ejemplos. Clasificación de algunos grupos de orden pequeño.
2. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES POLINÓMICAS Y PROBLEMAS CLÁSICOS
   1. Preliminares.
      Elementos de Álgebra lineal sobre cuerpos arbitrarios. Elementos sobre polinomios.
   2. Cuerpos de descomposición de polinomios.
      Extensiones de cuerpos de números finitamente generadas. El cuerpo de descomposición de un polinomio con coeficientes numéricos. Números algebraicos y trascendentes. El polinomio irreducible de un número algebraico. Extensiones finitas. Bases y grado de una extensión. Caso de una extensión simple. Propiedad multiplicativa del grado. Finitud de los cuerpos de descomposición de polinomios.
   3. Inmersiones complejas. Normalidad.
      El Teorema Fundamental del álgebra. Inmersiones complejas de cuerpos de números. Extensiones conjugadas. Extensiones normales. Extension de inmersiones complejas a extensiones finitas. Teorema de caracterización de extensiones normales.
   4. El teorema fundamental de la Teoría de Galois.
      El grupo de Galois de una extensión. El grupo de Galois de un polinomio. El subcuerpo fijo por un grupo finito de automorfismos. Lema de Artin. Extensiones finitas de Galois. El Teorema fundamental de la Teoría de Galois.
   5. Extensiones ciclotómicas.
      Las extensiones ciclotómicas de un cuerpo de números. Polinomios ciclotómicos. Irreducibilidad sobre Q. El grupo de Galois de una extensión ciclotómica.
   6. Extensiones radicales.
      Las raíces n-ésimas de un número complejo. Extensiones radicales y extensiones cíclicas.
   7. Resolución de ecuaciones.
      El Teorema de Abel-Galois. El grupo de Galois de un polinomio como grupo de permutaciones. Ecuaciones cuadráticas. Ecuaciones cúbicas. Ecuaciones cuárticas. Irresolubilidad en grado superior. Teorema de Abel-Ruffini.
   8. Construcciones con regla y compás.
      Planteamiento y solución de algunos problemas de construcción. La cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la duplicación de un cubo,.... Reformulación de los problemas en términos de extensiones de cuerpos. Criterio de solución para un problema de regla y compás. Algunas aplicaciones. Constructibilidad de los polígonos regulares.