GEOMETRÍA II
Departamento de Geometría y Topología
9 créditos
PROGRAMA DE TEORÍA
- TRIÁNGULOS Y ESFERAS
Puntos notables de un triángulo: propiedades, recta de Euler y
circunferencia
de los nueve puntos. Otros resultados de geometría poligonal plana.
La
circunferencia y la esfera : propiedades y posiciones relativas.
Potencia de
un punto respecto de una esfera. La inversión respecto de una
esfera:
propiedades. Construcciones con regla y compás.
- SIMETRÍA.
Simetrías de una figura. Simetrías de los polígonos regulares:
teorema de
Leonardo. Ornamentos del plano. Sólidos Platónicos: simetrías.
Teorema de
Hessel.
- CONVEXOS.
Propiedades básicas y ejemplos. Combinaciones convexas,
envolvente convexa y
Teorema de Caratheodory. Teorema de Helly y aplicaciones.
Teoremas de
separación e hiperplanos soporte. Circunradio de una figura y
teorema de Jung.
Problemas.
- EL ESPACIO PROYECTIVO.
Definición y modelos. Dimensión proyectiva y teorema de
dimensiones.
Coordenadas homogéneas y dualidad. Proyectividades y
perspectividades.
Determinación de proyectividades. La recta proyectiva, razón doble
y
transformaciones de Möbius. Figuras proyectivas. Teoremas
clásicos (Desargues,
Pappus,...). Geometría afín y geometría proyectiva.
- CÓNICAS Y CUÁDRICAS.
Cónicas y cuádricas : ejemplos. Clasificación proyectiva. Polaridad
y
tangencia. Dualidad: teoremas clásicos (Pascal, Brianchon...).
Elementos afines
y métricos. Clasificaciónes afín y métrica. Teoría de haces.
Determinación de
cónicas y cuádricas. Propiedades focales. Casos particulares:
Elipse,
Hipérbola, Parábola, Cuádricas regladas y Cuádricas de revolución.
Problemas.
PROBLEMAS
Se propondrán como tareas a desarrollar por los alumnos en cada tema.
PRÁCTICAS DE ORDENADOR
Prácticas con el programa Sketchpad.
BIBLIOGRAFÍA
- C. ALSINA, R. PEREZ y C. RUIZ. Simetría Dinámica. Síntesis, 1989.
- M. BERGER. Geometry, vol. 1 y 2. Springer-Verlag, 1987.
- D. BRANNAN, M. ESPLEN, J. GRAY. Geometry. Cambridge, 2000.
- H.S.M. COXETER. Introduction to Geometry. John Wiley, 1969.
- E.G. REES. Notes on Geometry. Springer-Verlag, 1983.
- G.E. MARTIN. Transformation Geometry. An introduction to Symmetry. Springer-Verlag, 1997.
- W. GREUB. Linear Algebra. Springer-Verlag, 1981.
- J.G. SEMPLE, G.T. KNEEBONE. Algebraic Projective Geometry. Oxford, 1963.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
Se realizarán dos exámenes cuatrimestrales y un examen final en donde los alumnos podrán recuperar
los exámenes parciales que tengan pendientes. Estos exámenes se podrán complementar con pruebas escritas de
corta duración.
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