GEOMETRÍA DE CURVAS Y SUPERFICIES

PROGRAMA DE TEORÍA

1. CURVAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO.
   1.1. Curvas diferenciables. Parametrizaciones.
   1.2. Longitud de una curva. Parámetro arco.
   1.3. Curvatura de curvas en el plano.
   1.4. Diedro de Frenet. Teorema fundamental de curvas en el plano.
   1.5. Curvatura y torsion de curvas en el espacio.
   1.6. Ecuaciones de Frenet. Teorema fundamental de curvas en el espacio.
   

2. SUPERFICIES EN EL ESPACIO.
   2.1. Superficies regulares en el espacio.
   2.2. Ejemplos: Grafos, superficies implícitas, superficies de revolución, superficies regladas
   2.3. Funciones y aplicaciones diferenciables.
   2.4. Plano tangente. Primera forma fundamental.
   2.5. Diferencial de una aplicación diferenciable.
   2.6. Orientabilidad.
   

3. APLICACIÓN DE GAUSS. CURVATURAS.
   3.1. La aplicación de Gauss y el operador de Weingarten.
   3.2. Segunda forma fundamental y secciones normales: Curvatura normal y Teorema de Meusnier; curvaturas principales y fórmula de Euler.
   3.3. Curvatura de Gauss K y curvatura media H. Superficies totalmente umbilicales.
   3.4. Direcciones principales y líneas de curvatura. Teorema de O. Rodríguez. Direcciones y líneas asintóticas.
   3.5. Ejemplos y aplicaciones.
   

4. GEOMETRÍA INTRÍNSECA.
   4.1. Ecuaciones de compatibilidad. El teorema egregio de Gauss.
   4.2. Isometrías. La curvatura de Gauss como invariante isométrico.
   4.3. Teorema de rigidez de la esfera..
   4.4. Geodésicas. Coordenadas geodésicas polares y entornos normales. Teorema de Minding.
   4.5. Superficies completas. Teorema de Hopf-Rinow..
   

PRÁCTICAS DE ORDENADOR

BIBLIOGRAFÍA

CRITERIOS DE EVALUACIÓN