GEOMETRÍA RIEMANNIANA

Departamento de Geometría y Topología
6 créditos

PROGRAMA DE TEORÍA

  1. VARIEDADES RIEMANNIANAS
    1. Objetos geométricos según Riemann. Algunos conceptos: longitud de una curva, distancia entre dos puntos, isometrías.
    2. Primeros ejemplos: Espacio Euclídeo, la esfera, variedades cocientes por una acción de isometrías, espacio proyectivo real, producto de variedades Riemannianas, toros llanos. Métricas homotéticas y conformes. Espacio hiperbólico.
    3. Mecánica clásica y geometría Riemanniana, algunos ejemplos.

  2. CÁLCULO EN VARIEDADES DE RIEMANN
    1. Algunos operadores diferenciales: gradiente, divergencia, hessiano, operador de Laplace.
    2. El cálculo absoluto de Levi-Civita: conexión, derivada covariante y curvatura.
    3. Transporte paralelo a lo largo de una curva. Geodésicas.
    4. Aplicación exponencial, entornos normales. Campos de Jacobi.
    5. El tensor de curvatura en coordenadas normales.

  3. GEOMETRÍA Y CURVATURA
    1. Las variedades Riemannianas como espacios métricos. Teorema de Hopf- Rinow.
    2. Curvatura seccional. Teorema Egregium de Gauss. Variedades de curvatura seccional constante.
    3. Teorema local de Cartan. Clasificación de los espacios forma. Consecuencias en el caso no simplemente conexo.
    4. Variedades de curvatura negativa. Teorema de Cartan-Hadamard.
    5. Tensor de Ricci y variedades Einstein.
    6. Variaciones de la energía y caracterización de las geodésicas como puntos críticos de la energía.
    7. Variedades de curvatura positiva: Teoremas de Myers y Bonnet-Myers.

BIBLIOGRAFÍA

  • V.I. ARNOLD, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer 1984.
  • M. BERGER, A panoramic View of Riemannian Geometry, Springer 2003.
  • W. BOOTHBY, An introduction to differentiable manifolds ands Riemannian Geometry, Academic Press (1986).
  • M. DO CARMO, Riemannian Geometry, Birkh¨auser (1992).
  • W. KLINGENGERG, Riemannian Geometry,Walter de Gruyter (1982).
  • M. SPIVAK, A comprehensive introduction to Differential Geometry I-V, Publish or Perish (1979).
  • F. WARNER, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Scott-Foresman (1971).

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Examen final. Se valorará la resolución de problemas propuestos en clase.