GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA

Departamento de Geometría y Topología
9 créditos

PROGRAMA DE TEORÍA

1. VARIEDADES DIFERENCIABLES

   1. Generalización del concepto de superficie: subvariedades del espacio Euclídeo.

   2. Concepto de variedad diferenciable. Ejemplos.

   3. Aplicaciones diferenciables. Difeomorfismos.

   4. Espacio tangente. La diferencial de una aplicación diferenciable.

   5. Difeomorfismos locales. Subvariedades.

   6. Particiones de la unidad.

2. CAMPOS Y FORMAS DIFERENCIALES.

   1. Campos de vectores. Álgebra de Lie de campos de vectores.

   2. 1-formas diferenciales.

   3. Campos de tensores.

   4. El álgebra exterior. Formas diferenciales.

   5. Orientación en variedades.

   6. Integración de n-formas sobre una variedad orientada de dimensión n.

3. DIFERENCIACIÓN EXTERIOR. TEOREMA DE STOKES.

   1. Construcción de la diferencial exterior de formas diferenciales.

   2. Dominios con borde diferenciable de una variedad orientada. Orientación inducida en el borde.

   3. Teorema de Stokes.

   4. Algunas consecuencias: teorema de Green, teorema de la divergencia y teorema clásico de Stokes.

4. COHOMOLOGÍA DE deRHAM.

   1. Complejo de cocadenas de deRham de una variedad. Formas diferenciales cerradas y exactas. Álgebra de cohomología de deRham. El lema de Poincaré.

   2. Homomorfismos inducidos por aplicaciones diferenciables. Invariancia homotópica de la cohomología de deRham.

   3. La sucesión de Mayer-Vietoris. Cohomología de deRham de la esfera.

   4. Cohomología de deRham de grado n de una variedad compacta y orientable de dimensión n. Clase fundamental de una variedad compacta y orientada.

   5. Grado de una aplicación diferenciable entre variedades compactas y orientadas de la misma dimensión. Interpretación local del mismo.

BIBLIOGRAFÍA

• G. E. Bredon, Topology and Geometry, Springer-Verlag 1993.

• C. Godbillon, Éléments de Topologie Algébrique, Hermann 1971.

• J. M. Gamboa, J. M. Ruiz Sancho, Iniciación al estudio de las variedades diferenciables, Sanz y Torres S. L., Madrid, 2006.

• J. Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles, Collection Grenoble Sciences, EDP Sciences, 1996.

• G. L. Naber, Topology, Geometry, and Gauge Theory, Springer-Verlag 2000.

• N. J. Hicks, Notes on Differential Geometry, D. Van Nostrand Company, Inc., Princeton, 1965.

• M. Spivak, A comprehensive introduction to Differential Geometry, Vol. I - V, Publish or Perish Inc. 1979.

• F. Warner, Foundations of differential manifolds and Lie groups, Scott Foresman and Co 1971.

SISTEMA DE EVALUACIÓN

Se tendrá particularmente en cuenta el trabajo de clase. Se realizarán dos exámenes cuatrimestrales y uno final.