Félix Klein
Matemático (1849 Düsseldorf, Prusia ahora Alemania, 1925 Göttingen, Alemania)
Félix Klein nació el 25 de abril de 1849, en Düsseldorf, antigua Prusia, y murió el 22 de junio de 1925 en Göttingen, Alemania. Su padre era el secretario del jefe de gobierno prusiano. Precísamente, Féliz Klein nació durante una revolución contra los prusianos, que fue finalmente abortada en el verano de 1849.
Klein estudió en el Gymnasium de Düsseldorf y después de graduarse, entró en la universidad de Bonn, donde estudió matemáticas y física durante 1865-1866. Comenzó la carrera con la intención de hacerse físico. De estudiante fue asignado como ayudante de laboratorio de Plücker. En 1866, Plücker tenía una cátedra de matemáticas y física experimental en Bonn pero, el interés de Plücker era la geometría. Klein se doctoró bajo la supervisión de Plücker, en 1868, con la tesis Über die Transformation der allgemeinen Gleichung des zweiten Grades zwischen Linien- Koordinaten auf eine kanonische Form, sobre geometría y aplicaciones a la mecánica. En ella clasificó las líneas complejas de segundo grado usando la teoría de divisores elementales de Weierstrass.
Ese mismo año Plücker murió dejando su trabajo sobre los fundamentos de la geometría lineal incompleto. Klein completó la segunda parte de la Neue Géometrie des Raumes y este trabajo le puso en contacto con Clebsch. Clebsch se había ido a Göttingen en 1868 y, durante 1869, Klein hizo visitas a Berlin, París y Göttingen. En julio de 1870, Klein estaba en París cuando Bismarck, el canciller prusiano, publicó un mensaje que provocó y enfureció al gobierno francés. Francia declaró la guerra a Prusia el 19 de julio y Klein tuvo que abandonar París. Durante un corto periodo, hizo el servicio militar en el servicio médico, antes de ser nombrado lector en la universidad de Göttingen en 1871. En 1872, Klein fue nombrado profesor en Erlangen, en Bavaria en el sur de Alemania. Fue apoyado por Clebsch, que estaba convencido de que Klein se iba a convertir en uno de los matemáticos líderes de su época. Klein consiguió su primera cátedra con sólo 23 años.
Sin embargo, Klein no creó escuela en Erlangen donde había muy pocos estudiantes. En 1875, aceptó el ofrecimiento de una cátedra en el Technische Hochschule de Munich. Allí, junto a su colega Brill, impartió cursos avanzados a un gran número de excelentes alumnos. Entre ellos estaban Hurwitz, von Dyck, Rohn, Runge, Planck, Bianchi y Ricci-Curbastro. En 1875, Klein se casa con Anne Hegel, una nieta del gran filósofo Georg Wilhelm Friedrich Hegel.
Después de cinco años en el Technische Hochschule de Munich, Klein fue nombrado catedrático de geometría de Leipzig. Allí tendría como colegas a varios jóvenes y talentosos lectores, como von Dyck, Rohn, Study and Engel. Desde 1880 a 1886, Klein estuvo en Leipzig y esos años fueron fundamentales en su vida. Su salud era delicada y en el otoño de 1882 cayó enfermo y posteriormente deprimido hasta 1884. En 1886, con su carrera investigadora casi acabada aceptó una cátedra en la universidad de Göttingen. Enseñó en Göttingen hasta su retiro en 1913, pero habiendo convertido a Göttingen en uno de los centros de investigación en matemáticas mas famosos del mundo.
En Göttingen, enseñó no sólo geometría sino muchas otras materias, entre la matemática y la física, como mecánica y teoría de potencial. Klein fundó un centro de investigación en Göttingen que iba a servir de modelo para los mejores de todo el mundo. Introdujo reuniones semanales, una habitación para leer con una biblioteca matemática a disposición. Se trajo a Hilbert desde Königsberg a Göttingen en 1895. La fama de la revista Mathematische Annalen está basada en su capacidad matemática y de dirección. La revista había sido originalmente fundada por Clebsch pero fue bajo Klein cuando no tuvo rival, sobrepasando a la famosa Crelle. En cierto sentido, estas revistas representaban la rivalidad existente entre las escuelas matemáticas de Berlin y Göttingen. Klein empezó con un pequeño equipo de editores que eran trabajadores constantes y tomaban decisiones democráticas. La revista estaba especializada en análisis complejo, geometría algebráica y teoría de invariantes. También publicaba en análisis real y teoría de grupos.
Aunque Klein se retiró en 1913, continuó enseñando matemáticas en su casa durante la primera guerrra mundial. Klein contribuyó con sus entonces novedosos resultados, al conocimiento actual de la geometría. Hoy forman parte del pensamiento matemático actual y es dificil imaginar la novedad que en su tiempo significó. De hecho, al principio sus resultados no fueron universalmente aceptados. En 1870, in colaboración con Lie, descubrió las peopiedades fundamentales de las líneas asintóticas de la superficie de Kummer. Después trabajó en las w-curvas, curvas invariantes bajo un grupo de transformaciones proyectivas. De hecho, Lie jugó un papel importante , introduciendo el concepto de grupo en la investigación. También las enseñanzas de Camille Jordan sobre grupos fueron importantes para Klein.
En 1871, en Göttingen, Klein publicó dos artículos sobre geometrías no euclídeas en los que mostró que era posible considerar la geometría euclídea y las no euclídeas como casos especiales de una superficie proyectiva con una determinada sección cónica. Demostrando con ello que las geometrías no euclídeas son consistentes si y sólo si lo es la geometría euclídea. Sin embargo, Cayley nunca aceptó los argumentos de Klein (creyendo fálsamente que eran circulares). En realidad, Klein probó la independencia de la geometría proyectiva del axioma de Euclides de las paralelas, demostrando así que tanto la geometría euclidiana como las no euclidianas se encontraban comprendidas en la geometría proyectiva y que eran igualmente verdaderas con respecto a una métrica particular.
La síntesis de las geometrías, que propuso Klein, como el estudio de las propiedades de un espacio que son invariantes respecto a un grupo de transformaciones, conocido como el Programa de Erlanger (1872), influyó profundamente en el desarrollo matemático posterior. El Programa de Erlanger dió una visión unificada de la geometría que es hoy comúnmente aceptada. De esta manera el Programa de Erlanger definía la geometría de forma que incluía tanto a la euclidiana como a las no euclidianas.
Sin embargo, el propio Klein pensaba que su trabajo sobre teoría de funciones era su mayor contribución a las matemáticas. Uno de sus éxitos fue el desarrollo de las ideas de Riemann, relacionando la teoría de invariantes, la teoría de números y algebra, la teoría de grupos, la geometría multidimensional y la teoría de ecuaciones diferenciales, las funciones elípticas y las funciones automorfas. Considerando la acción de un grupo modular sobre el plano complejo, Klein mostró que la región fundamental recubre o tesela el plano. En 1879, estudió la acción del grupo PSL(2,7), pensado como una imagen del grupo modular, y obtuvo una representación explícita de una superficie de Riemann. Mostró que tenía por ecuación x^3y + y^3z + z^3x = 0 como una curva en el espacio proyectivo y que su grupo de simetrías era PSL(2,7) de orden 168. En 1882, escribió Riemanns Theorie der algebraischen Funktionen und ihre Integrals que trata la teoría de funciones de una manera geométrica conectando la teoría de potencial y las funciones conformes. Usó en este trabajo ideas de la física, especialmente de dinámica de fluídos.
Klein consideró ecuaciones de grado mayor que 4 y estaba especialmente interesado en usar métodos trascendentes para resolver la ecuación de quinto grado. Después de trabajar con los métodos de Hermite y Kronecker, produciendo resultados similares a los de Brioschi, continuó resolviendo completamente el problema usando el grupo del icosahedro. Este trabajo le condujo a considerear las funciones elípticas modulares que estudió en varios artículos. Desarrolló la teoría de las funciones automorfas, conectando resultados algebráicos y geométricos en su libro de 1884 sobre el icosahedro. Sin embargo, Poincaré empezó a publicar su teoría de las funciones automorfas en 1881 y, eso condujo a una competición entre ambos. Fue en este periodo cuando Klein enfermó. Posteriormente, ya en Leipzigg y con la colaboración de Robert Fricke, que llegó a Leipzig en 1884, Klein escribió 4 volúmenes sobre funciones automorfas y funciones modulares elípticas.
También la superficie famosa de una sóla cara, la botella de Klein, lleva su nombre. Esta no puede ser construída en el espacio euclídeo. Tampoco es una superficie contínua en el espacio de tres dimensiones, ya que la superficie no puede pasar a través de ella misma salvo a través de una discontinuidad. Sí es posible construir una botella de Klein en un espacio no euclídeo.
En la década de 1890, Klein se empezó a interesar en física matemática y escribió, con A. Sommerfeld, un importante trabajo sobre el giroscopio. Posteriormente Klein se interesó por la enseñanza secundaria. Abogó por modernizar la enseñanza de la matemática en Alemania. En 1905, participó en la formulación del "Meraner Lehrplanestwürfe". La recomendación principal era la introducción en la enseñanza secundaria de los rudimentos del cálculo diferencial e integral y el concepto de función. Klein fue elegido chairman of the International Commission on Mathematical Instruction en el Rome International Mathematical Congress de 1908. Bajo su guía se publicaron muchos volúmenes sobre la enseñanza de la matemática secundaria en Alemania.
En 1895, impulsó el proyecto de la Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften. Tomó parte activa, editando junto con K. Müller los cuatro volúmenes sobre mecánica. Klein fue elegido miembro de la Royal Society, en 1885, y recibió la medalla Copley de la sociedad en 1912. La London Mathematical Society le distinguió con la medalla de De Morgan Medal, en 1893.