II Seminario de Análisis Geométrico en la UJA
Objetivo
Seminario de 10 horas, repartido en dos días de duración, dirigido a los alumnos del Programa Interuniversitario Matemáticas (UGR, UCA, UMA, UAL y UJA). El tema común es el Análisis Geométrico, que es una de las líneas de investigación tanto del Programa de Doctorado como de los proyectos del Ministerio de Ciencia e Innovación en el que están enrolados los ponentes del seminario. El objetivo es transmitir de manera clara y fluida al potencial alumnado los avances en los problemas recientes de investigación básica que están abordando los ponentes en esta línea de investigación.
Cursos
El seminario se divide en 4 minicursos de 2,5 horas de duración:
- [Viernes 23, 9:00] José M. Manzano (Universidad de Jaén): Propiedades conformes de inmersiones de curvatura media constante en espacios homogéneos.
- [Viernes 23, 12:00] Francisco Torralbo (Universidad de Granada): Estabilidad de superficies de curvatura media constante.
- [Viernes 30, 9:00] Ildefonso Castro-Infantes (Universidad de Murcia): Superficies mínimas completas en el espacio euclídeo $\mathbb{R}^n$.
- [Viernes 30, 12:00] Ildefonso Castro (Universidad de Jaén): Superficies Weingarten en el espacio euclídeo y en la 3-esfera.
Propiedades conformes de inmersiones de curvatura media constante en espacios homogéneos.
José M. Manzano (Universidad de Jaén) impartirá este curso dividido en tres partes: en la primera, se discutirán los espacios 3-dimensionales simplemente conexos cuyo grupo de isometrías tiene dimensión 4, tanto riemannianos como lorentzianos, y se establecerán algunas de sus propiedades fundamentales como espacios homogéneos y como submersiones de Killing. En la segunda parte, se estudiarán las ecuaciones fundamentales de las superficies de curvatura media constante en dichos espacios, y se introducirán las correspondencias de Daniel (isométrica) y de Calabi (conforme). En la última parte, se definirá la diferencial cuadrática de Abresch-Rosenberg, que es holomorfa para superficies de curvatura media constante, y la aplicación de Gauss, que es armónica para superficies de curvatura media crítica.
Estabilidad de superficies de curvatura media constante.
Francisco Torralbo (Universidad de Granada) impartirá este curso donde se estudiarán las superficies de curvatura media constante (CMC) desde el punto de vista del cálculo de variaciones. El primer objetivo será mostrar, usando la primera variación del área y el volumen, que las superficies CMC son puntos estacionarios del área para variaciones que preservan el volumen encerrado por la superficie. Definiremos entonces el concepto de estabilidad para CMC como la no negatividad de la segunda variación del área para variaciones que preservan el volumen. Presentaremos ejemplos de superficies estables y clasificaremos las superficies compactas estables en los espacios forma. Finalmente, mostraremos una técnica reciente para estudiar problemas de estabilidad basada en el uso de campos de vectores armónicos con aplicaciones a las superficies CMC es espacios homogéneos.
Superficies mínimas completas en el espacio euclídeo $\mathbb{R}^n$
Ildefonso Castro-Infantes (Universidad de Murcia).
El estudio de las superficies mínimas es un tema clásico de investigación en la Geometría Diferencial. Basándose en el hecho de que una inmersión conforme es mínima si, y solo si, sus coordenadas son armónicas, Enneper y Weierstrass encontraron una representación analítica para superficies mínimas contenidas en un espacio euclídeo $\mathbb{R}^n$ de dimensión $n \geq 3$.
Recientemente, técnicas provenientes del Análisis Complejo, en concreto de las teorías de aproximación e interpolación para funciones holomorfas, se han utilizado para la construcción de superficies mínimas dando lugar a numerosos y variados resultados.
En este minicurso mostraremos la idea fundamental utilizada para asegurar que las superficies mínimas construidas sean completas. Empezando por la idea original introducida por Jorge y Xavier y cómo se ha adaptado ésta en resultados posteriores.
Superficies Weingarten en el espacio euclídeo y en la 3-esfera.
Ildefonso Castro (Universidad de Jaén).
Las superficies Weingarten son aquéllas en las que se verifica una cierta relación funcional entre sus curvaturas principales. Incluyen así, por ejemplo, familias tan interesantes como las superficies isoparamétricas, las superficies con curvatura media constante (en particular, las mínimas) o las superficies con curvatura de Gauss constante. En este minicurso se pretende estudiar este tipo de superficies en el seno de las superficies rotacionales y helicoidales, tanto en el espacio euclídeo $\mathbb{R}^3$ como en la 3-esfera $\mathbb{S}^3$. La aportación fundamental y novedosa será poner de manifiesto el papel clave que juega en este contexto el momento lineal geométrico de la curva generatriz de la superficie rotacional o la curva perfil de la superficie helicoidal, a la hora de intentar una clasificación de las superficies Weingarten.
Como aplicación, se recuperarán bajo esta óptica resultados clásicos en esta línea, se obtendrán nuevos teoremas de unicidad de ejemplos sencillos y se abrirá el camino para el estudio de nuevas familias de superficies Weingarten.