Práctica 5 : 
        Espacio Afín - Euclídeo.

1.  -  
        Sistemas de referencia y ecuaciones de una variedad afín.

Para estudiar la dependencia o independencia afín de un conjunto de puntos {p0, p1,  ... , 
            pr}  usaremos si son linealmente independientes o no los vectores {p1 - p0,  ... , 
            pr - p0} o bien los vectores {(p0, 1), (p1, 
              1),  ... , (pr, 1)}:

p0 = {-1, 0, 1};
p1 = {0, 0, 1};
p2 = {-1, 2, 0};
p3 = {3, 2, -1};
Det[{p1 - p0, p2 - p0, p3 - p0}]

Lo que prueba que los puntos son afínmente independientes .  O bien tomando

q0 = {-1, 0, 1, 1};
q1 = {0, 0, 1, 1};
q2 = {-1, 2, 0, 1};
q3 = {3, 2, -1, 1};
Det[{q0, q1, q2, q3}]

Una forma gráfica que nos puede ayudar a ver si puntos en (R^2) son linealmente independientes es dibujar el polígono que tiene a esos puntos como vértices

p0 = {1, 2};
p1 = {-1, 1};
p2 = {3, 0};
Show[Graphics[{Line[{p0, p1, p2, p0}] }], Axes -> True, 
        AspectRatio -> Automatic];

Show[
        Graphics[{Line[{p0, p1, p2, p0}], Text["p0", {1, 2.1}], 
            Text["p1", {-1.2, 1}], Text["p2", {3.2, 0.2}] }], 
        Axes -> True, AspectRatio -> Automatic];

De forma similar se puede hacer en (R^3) usando la opción "Graphics3D".

Para el cálculo de las ecuaciones de una variedad afín generada por los puntos {p0, p1,  ... , pr} consideraremos los vectores {p1 - p0,  ... , pr - p0} o bien los vectores{(p0, 1), (p1, 1),  ... , (pr, 1)} y usaremos los comandos Minors y Rowreduce como en la práctica 2.

Calculemos la ecuación del plano de (R^3) que pasa por los puntos (1, 3, 1)   (1, 1, -1)  (2, 
          1, -2) usando ambas métodos

p0 = {1, 3, 1};
p1 = {1, 1, -1};
p2 = {2, 1, -2};
g = {x1, x2, x3};
Minors[{p1 - p0, p2 - p0, g - p0}, 3]

\(Con\ lo\ que\ nos\ queda\ que\ la\ ecuación\ del\ plano\ es\ "2+2 x1-2 x2+2 x3=0" . \ 
          O\ bien\ se\ haría\ \(\(usando\)\(:\)\)\)

q0 = {1, 3, 1, 1};
q1 = {1, 1, -1, 1};
q2 = {2, 1, -2, 1};
g = {x1, x2, x3, 1};
Minors[{q0, q1, q2, g}, 4]

Que nos da la misma ecuación (cambiada de signo) .  
          Veamos ahora las ecuaciones de la recta que pasa por  (1, 2, 1) y (3, -2, -1)

p0 = {1, 2, 1};
p1 = {3, -2, -1};
g = {x1, x2, x3};
Minors[{p1 - p0, g - p0}, 2]

RowReduce[{{-8, 4, 2, 0}, {-4, 2, 0, 2}, {0, 0, 
          2, -4}}]

\(Con\ lo\ que\ las\ ecuaciones\ de\ la\ recta\ son\ \(\*""1-(1/2)x1-(1/2) x3=0 y x2-2x3=0""\(.\)\)\)

p0 = {1, 2, 1, 1};
p1 = {3, -2, -1, 1};
g = {x1, x2, x3, 1};
Minors[{p0, p1, g}, 3]

RowReduce[{{0, 0, 4, -8}, {-8, 4, 2, 0}, {-4, 2, 0, 2}, {0, 
          0, 2, -4}}]

Ejercicios,
1.  -  
          Dibújese conjuntamente el triángulo de vértices (1, 3)  (2, 1) y (-1, 
              0) y el triángulo formado por los puntos medios de sus lados
2.- Determínese en (R^3) 
            la variedad afín generada por los puntos p1=(1, 1, 1)  p2 = (2, 1, 0)
  p3 = (1, -1, 0) p4 = (2, 1, 
              1) y calcúlese su dimensión
3.  -  
          En  (R^3) 
            se consideran la variedad afín generada por los puntos (1, 2, 2) y (0, 1, 1) y la variedad dada por (1, 0, 
              1) +  < (1, 1, 1) (0, 1, 
            1) > 
Calcúlese su intersección y su suma
4.  -   Determínese en (R^3) 
          la variedad afín menor que contiene a las rectas r1 : (1, 1, 1)+ < (1, 1, 
                1) >   r2 : (0, 1, 1)+ < (0, 0, 
                    1) >

2.  -  Paralelismo y perpendicularidad .

Para el cálculo de la posición relativa entre variedades afines basta utilizar el comando Minors para calcular el rango de las matrices asociadas a las ecuaciones de las variedades afines o el comando Solve,  
      como se hizo en la práctica 1.

Para la visualización de algunos problemas de tipo geométrico es interesante conocer cómo dibujar rectas .  
            Necesitamos definir la recta usando dos puntos de ella p0 y p1 como f[t_]:=t p0 + (1 - 
                  t) p1 o bien con un punto p0 y un vector director v como f[t_]:=p0+t v .  Y usaremos el comando ParametricPlot[f[t], {t, t0, t1}] en (R^2) y ParametricPlot3D[f[t], {t, t0, t1}] en (R^3).

Para dar un ejemplo consideraremos las rectas de (R^3) dadas por r : (1, 0, 0)+ < (1, 1, 0) >  
            y 

      s : (0, 1, 2)+ < (-1, 1, 0) >  
          y calculamos su perpendicular común.

r0 = {1, 0, 0} + a {1, 1, 0};
s0 = {0, 1, 2} + b {-1, 1, 0};
Solve[{(r0 - s0) . {1, 1, 0} == 
          0, (r0 - s0) . {-1, 1, 0} == 0}, {a, b}]

a = 0;
b = -1;
r0
s0

r = 
        ParametricPlot3D[{1, 0, 0} + t {1, 1, 0}, {t, -2, 
            2}];
s = 
        ParametricPlot3D[{0, 1, 2} + t {-1, 1, 0}, {t, -2, 
            2}];
p = 
        ParametricPlot3D[
          t {1, 0, 0} + (1 - t) {1, 0, 2}, {t, -0.5, 
            1.5}];
Show[r, s, p];

Ejercicios,
1.  -  
          Dibújese la mediatriz del segmento de extremos (2, -7) y (4, -10) de (R^2)
2.  - 
            Dibújese el triángulo de vértices (1, 1), (1, -1) y (0,(1/2)) y sus bisectrices en (R^2)
3.  - Dadas las rectas de (R^3) 
r :  x=((y - 1)/3) = ((z - 4)/7) , 
s : 
            x - 2 = ((y - 2)/3) = ((z - 3)/4)
compruébese que se cruzan,  
      calcúlese la distancia entre las rectas y dibújense r,  s y su perpendicular común.

3.- Aplicaciones afines e isometrías.

Una aplicación afín es isometría si y sólo si su aplicación lineal asociada lo es .  
          Eso se podrá hacer utilizando lo ya visto en la práctica 4.

Sin embargo,  
      dada una aplicación lineal en dimensión 2 se puede intuir si es o no isometría y cuál es su comportamientousando algunos dibujos .  Consideremos,  por ejemplo,  
      la aplicación afín f (x1, x2) = (x1 - x2, 
          x1 + 1/2 x2 + 1)

f[{x1_, x2_}] := {x1 - x2, x1 + 1/2 x2 + 1}
p0 = {1, 0};
p1 = {0, 1};
p2 = {2, 1};
p3 = {1, 2};
Show[Graphics[{Line[{p0, p1, p3, p2, p0}] }], Axes -> True, 
        AspectRatio -> Automatic];
Show[Graphics[{Line[{f[p0], f[p1], f[p3], f[p2], f[p0]}] }], 
        Axes -> True, AspectRatio -> Automatic];

\(De\ esta\ forma\ observamos\ que\ la\ aplicación\ afín\ anterior\ no\ puede\ ser\ una\ isometría\ del\ producto\ escalar\ usual\ de\ R\^2\ ya\ que\ no\ conserva\ los\ ángulos\ de\ 90  º\ del\ rombo . \ 
          De\ hecho\ una\ aplicación\ afín\ de\ R\^2\ con\ la\ métrica\ usual\ es\ isometría\ si\ y\ sólo\ si\ la\ imagen\ de\ la\ circunferencia\ de\ radio\ 1\ \((centrada\ en\ el\ origen)\)\ es\ una\ circunferencia\ de\ radio\ 1. \)

ParametricPlot[f[{Cos[t], Sin[t]}], {t, 0, 2 Pi}, 
        AspectRatio -> Automatic];

Esto demuestra que la aplicación afín anterior no es una isometría . 
          Aunque sí lo es la aplicación f (x1, 
          x2) = ((3/5) x1 - (4/5) x2 + 
          1, (4/5) x1 + (3/5) x2 - 2)

f[{x1_, x2_}] := {(3/5) x1 - (4/5) x2 + 
          1, (4/5) x1 + (3/5) x2 - 2}
ParametricPlot[f[{Cos[t], Sin[t]}], {t, 0, 2 Pi}, 
        AspectRatio -> Automatic];

Ejercicios,
1.  - 
          Dibújese el triángulo de vértices (0, 0), (3, 1) y (3, -1) junto con
\(\((a)\)\ su\ imagen\ mediante\ la\ reflexión\ dada\ por\ la\ recta\ de\ ecuación\ "x=2"\ y\ dicha\ recta\)
\(\((b)\)\ su\ imagen\ mediante\ la\ reflexión\ dada\ por\ la\ recta\ de\ ecuación\ "x=-y"\ y\ dicha\ recta\)
\(\((c)\) 
      su\ imagen\ mediante\ el\ giro\ de\ 45  º\ centrado\ en\ el\ punto\ \((\(-1\), 0)\)\)
2.  -  
          Véase gráficamente que las aplicaciones afines de (R^2) dadas por f (x1, x2) = (x1 + x2 - 3, 
              x2 + 1) y g (x1, x2) = (-x2 + 2, 
              x1 - x2 + 1) no son isometrías,  
      aunque sí lo es g compuesta con f.