Práctica 2 : Espacios Vectoriales.

1.  -  Sistemas de vectores.

Para trabajar con vectores utilizaremos la expresión de éstos,  
      en coordenadas respecto de alguna base,  
      escritos en forma matricial donde cada uno de ellos ocupa una columna de la matriz :

v1 = {0, 0, 1}
v2 = {-1, 2, 0}
v3 = {3, 2, -1}
s = Transpose[{v1, v2, v3}]
s // MatrixForm

s = 
      Transpose[{{1, 2, 3, -1}, {0, -1, 0, 
            1}}]
s // MatrixForm

Ejercicios,
1.  -  
            Escribir en forma matricial los siguientes sistemas de vectores : 
a . - v1 = (3, 2, 1, 0), v2 = (-5, 2, 0, 1),v3 = (0, -2, 1, 0)
         b . -  w1=(3, 2), w2 = (-2, 2),w3 = (0, -2)
2.- Utilizar el símbolo (({{\[Placeholder], \[Placeholder]}, {\[Placeholder], \[Placeholder]}})) de la paleta BasicInput  para escribir los siguientes sistemas de vectores
         a.- v1=(-2, 1, 1, -1), v2 = (-1, 2, 3, 1)
         b . - w1 = (3, 4, 1)  w2 = (0, -2, 
            1)

2.  -  Independencia lineal.

Usando que un conjunto de vectores v1,  
      v2,   ...  ,  
      vk  es linealmente independiente si la única 
solución de la ecuación     c1*
                  v1 + c2*v2 +   ...   + 
            ck*vk = 0    es la solución c1 = c2 =  ... =ck = 0, podemos ver directamente si un sistema es linealmente independiente usando la orden Solve.

v1 = {1, 3, 1}
v2 = {1, 0, 2}
v3 = {1, 6, 0}
Solve[
      c1*v1 + c2*v2 + c3*v3 == {0, 0, 0}, {c1, c2, c3}]

De esta forma observamos que el anterior sistema es linealmente dependiente porque además de la solución c1 = c2 = c3 = 
            0  existen otras .  
                Y el siguiente sistema es linealmente independiente:

v1 = {3, 2, 1, -1}
v2 = {4, 2, 1, 0}
v3 = {-2, 4, 3, 1}
Solve[
      c1*v1 + c2*v2 + c3*v3 == {0, 0, 0, 0}, {c1, c2, c3}]

También podemos ver si un sistema es linealmente independiente o no utilizando el comando NullSpace[matriz del sistema]. De esta forma el sistema será linealmente independiente si el resultado que nos muestra al evaluar el comando anterior es {} .  Y el sistema será linealmente dependiente si el resultado es un conjunto de vectores.

v1 = {2, 1, -2, 0}
v2 = {3, 2, -1, 4}
v3 = {0, 2, 1, 0}
s = Transpose[{v1, v2, v3}]
MatrixForm[s]
NullSpace[s]

v1 = {2, 1, -2, 0}
v2 = {3, 2, -1, 1}
v3 = {0, 1, 4, 2}
s = Transpose[{v1, v2, v3}]
MatrixForm[s]
NullSpace[s]

Otra forma sencilla de estudiar si el sistema es linealmente independiente o no es estudiar el rango de la matriz que forma el sistema .  El sistema será linealmente independiente cuando el rango coincida con el número de vectores .  Para ello utilizaremos como en la práctica anterior el comando Minors[sistema, número de vectores]. El resultado de evaluar este comando son todos los menores de la matriz del sistema de orden=número de vectores.

v1 = {2, 1, -2, 0}
v2 = {3, 2, -1, 1}
v3 = {0, 1, 4, 2}
s = Transpose[{v1, v2, v3}]
MatrixForm[s]
Minors[s, 3]

v1 = {2, 1, -2, 0}
v2 = {3, 2, -1, 4}
v3 = {0, 2, 1, 0}
s = Transpose[{v1, v2, v3}]
MatrixForm[s]
Minors[s, 3]

Ejercicios,
1.  -  
          Utilícese el comando Solve para estudiar la dependencia o independencia lineal de los siguientes sistemas de vectores
a . - 
          v1 = (2, -1)  v2 = (-2, 
          1)
b . - 
          w1 = (3, 2, 4, 1, 
            5)  w2 = (1, 0, 1, 0, 1)  w3 = (2, 
            1, -2, -1, 0)
2.  -  
        Utilícese el comando NullSpace para estudiar la dependencia o independencia lineal de los siguientes sistemas de vectores
a . -  u1 = (-2, 0, 1, 2)  u2 = (-1, 2, 1, -1)   u3 = (0, 
            4, 1, -4)
b . - 
          v1 = (3, 2, 1)  v2 = (0, 1, 1)  v3 = (2, 1, 
            1)
3.- Utilícese el comando Minors para estudiar la dependencia o independencia lineal de los siguientes sistemas de vectores
a . - 
          v1 = (2, 1, 0, 
            2)  v2 = (3, -1, 0, 1)  v3 = (0, 5, 0, 
            4)
b . - 
          w1 = (2, 1, 0, 
            1)  v2 = (1, -2, 0, 1)  v3 = (1, 3, 0, 
            2)
4.- En un espacio vectorial de dimensión tres con base B={v1, v2, v3}  se consideran los vectores 
b1 = 
          2 v1 + v2,   b2 = v1 + v2 - v3  y  b3 = -v2 + 
              2 v3 .  
                  Estúdiese si el sistema de vectores dado por 
b1,  
      b2 y b3 es linealmente independiente o no.

3.  -  Sistemas de Generadores.

Dado un sistema de vectores v1,  v2,   ... ,  
      vk  podemos calcular una base del subespacio que generan 
eliminando algunos de ellos si no fuesen linealmente independientes .  El proceso a seguir es el siguiente:
1.  -  Se toma un vector no nulo
          2.  -  
          Añadimos un vector más y comprobamos si el sistema es linealmente independiente .  Si el sistema es lin .  
              
              independiente dejamos ese vector y si es linealmente dependiente lo eliminamos .  
              Y volvemos a repetir el paso 2 hasta que terminemos con todos los vectores.

Calculemos una base a partir del siguiente sistema de generadores:

v1 = {2, 4, -2, 1};
v2 = {1, 0, -1, 2};
v3 = {-1, 4, 1, -5};
v4 = {0, 2, 1, 0};
v5 = {7, 0, -13, 5};
s2 = Transpose[{v1, v2}];
NullSpace[s2]

Como v1 y v2 son lin .  indep .  
        no eliminamos v2 y añadimos v3:

s3 = Transpose[{v1, v2, v3}];
NullSpace[s3]

Como v1 ,  
    v2 y  v3 son lin .  
        dep .   eliminamos v3 y añadimos v4:

s4 = Transpose[{v1, v2, v4}];
NullSpace[s4]

Como v1 , 
    v2 y  v4 son lin .  indep .  
        dejamos v4 y añadimos v5:

s5 = Transpose[{v1, v2, v4, v5}];
NullSpace[s5]

Así el sistema v1,v2,v4,v5 es lin .  dep .  y, por tanto, una base la formarían v1,v2 y v4.

Otro comando que puede resultarnos útil es RowReduce[matriz]   que hace combinaciones lineales sobre las filas de una matriz para conseguir unos o ceros sobre los elementos de la "diagonal" de la matriz y ceros por encima y debajo:

m=(({{3, -2, 2, 1}, {-2, 3, 1, 0}, {2, 1, 0, 2}}));
RowReduce[m] // 
      MatrixForm

m=(({{2, -1, 2, 4}, {-1, 2, 3, 2}, {1, 1, 5, 6}}));
RowReduce[m] // 
      MatrixForm

Es decir, el comando anterior consigue una base del sistema que  generan los vectores de la matriz escritos en fila eliminando las filas completas de ceros.  Ya que nuestros sistemas están escritos en columnas usaremos Transpose[RowReduce[Transpose[sistema]]] que nos dará el resultado que buscamos (por columnas) .    Hay que observar que en este caso la base que obtenemos a diferencia del método anterior no tiene nada que ver con el sistema de generadores del que partimos.

v1 = {2, 4, -2, 1};
v2 = {1, 0, -1, 2};
v3 = {-1, 4, 1, -5};
v4 = {0, 2, 1, 0};
v5 = {7, 0, -13, 5};
s = Transpose[{v1, v2, v3, v4, v5}];
Transpose[RowReduce[Transpose[s]]] // MatrixForm

Ejercicios,
1.  -  
              Encuéntrese una base del subespacio generado por v1 = (3, 2, -1, 
                  0)   v2 = (2, -1, 0, 
                    1)   v3 = (-1, -3, 1, 1)   
 v4 = (-1, 4, 3, 1)    v5 = (-2, 1, 4, 
                2)  conseguida a partir de los vectores anteriores
2.  - 
            Calcúlese una base y la dimensión del subespacio generado por los vectores  v1 = (3, 1, 2, 0, 1)  
v2 = (-1, 0, 2, 4, 
              3)    v3 = (2, 1, 4, 4, 4)     v4 = (4, 1, 
              0, -4, -2)
3.  -  
          En un espacio vectorial de dimensión tres con base B = {v1, v2, v3}  se consideran los vectores b1 = 2 v1 + v2,  
      b2 = v1 + v2 - v3  y  b3 = -v2 + 
            2 v3 .  
                Calcúlese la dimensión del espacio que generan los vectores {b1, b2, b3}.

4.  -  Ecuaciones de un subespacio.

Dada una base B = {b1, b2,   ... , 
            bk} de un subespacio vectorial podemos saber si un vector v está en ese subespacio o no de forma sencilla escribiendo el sistema formado por los vectores de la base y además v .  
            Si el sistema es linealmente independiente entonces el vector no pertenece al subespacio y sí pertenecerá si es linealmente dependiente.

b1 = {3, 2, -1, 2};
b2 = {2, 1, 2, 2};
b3 = {1, 0, 1, -1};
v = {2, 1, -2, -1};
w = {-1, 0, 2, 1};
s1 = Transpose[{b1, b2, b3, v}];
Minors[s1, 4]
s2 = Transpose[{b1, b2, b3, w}];
Minors[s2, 4]

De esta forma observamos que v pertenece al subespacio generado por b1, b2 y b3,  
      pero no pertenece el vector w.

A partir de la idea anterior podemos calcular las ecuaciones cartesianas del subespacio generado por los tres vectores anteriores como sigue:

b1 = {3, 2, -1, 2};
b2 = {2, 1, 2, 2};
b3 = {1, 0, 1, -1};
v = {x1, x2, x3, x4};
s1 = Transpose[{b1, b2, b3, v}];
Minors[s1, 4]

Con lo que hay una única ecuación cartesiana dada por    7 x1-16 x2-3 x3+4 x4=0

Es muy importante tener en cuenta que el número de ecuaciones linealmente independientes es igual a la dimensión del espacio total menos la del subespacio, por lo que si al usar el comando Minors nos aparecen más ecuaciones debemos eliminar las que sean linealmente dependientes .  Eso lo podemos hacer con el comando RowReduce[matriz de los coeficientes de las ecuaciones] que nos cambiará las ecuaciones por otras en las que todas son linealmente independientes.

b1 = {3, 1, 2, 0};
b2 = {-1, 2, 0, 1};
v = {x1, x2, x3, x4};
s = Transpose[{b1, b2, v}];
Minors[s, 3]

Como el número de ecuaciones debía ser dos en lugar de cuatro, escribimos la matriz de coeficientes de las ecuaciones:

m=(({{-4, -2, 7, 0}, {1, -3, 0, 7}, {2, 0, -3, 2}, {0, 2, -1, -4}}));
RowReduce[m] // 
      MatrixForm

Con lo que las ecuaciones quedan  

      x1 - 3/2 x3 + x4 = 0   

      x2 - 1/2 x3 - 2 x4 = 0.

Recíprocamente, se puede calcular una base de un subespacio a partir de sus ecuaciones cartesianas usando el comando NullSpace[matriz de los coeficientes de las ecuaciones] 
Por ejemplo,  
        una base del subespacio vectorial con ecuaciones 
x1 - x2 + x3 - x4 = 0
2 x1 + x2 - x3 + x4 = 0
se puede calcular como sigue

NullSpace[(({{1, -1, 1, -1}, {2, 1, -1, 1}}))]

Por tanto tiene por base los vectores (0, -1, 0, 
          1) y (0, 1, 1, 0).

Ejercicios,
1.-Calcúlense las ecuaciones cartesianas del subespacio vectorial de (R^3) con base b1=(3, 2, 0)    b2 = (-1, 0, 3)
2.  -  
          Hállese las ecuaciones cartesianas del subespacio de (R^4) que tiene por sistema de generadores a los vectores v1 = (-2, 1, 1, -1)   v2 = (3, 1, -1, 2)  v3 = (1, 2, 0, 
              1)
3.- En un espacio vectorial de dimensión 4 se considera una base B={b1, b2, b3, 
                  b4}  y un subespacio suyo generado por los vectores  v1 = b2 - b3 + 2  b4, v2=b1+2 b3-b4. Calcúlense sus ecuaciones cartesianas
4.  -  
        Encuéntrese una base del subespacio vectorial de (R^3) con ecuaciones cartesianas
x1 - x2 + x3 = 0
x1 + 2  x2 - 2  x3 = 0
5.- Calcúlese la dimensión de los subespacios de (R^4)  
U = {(x1, x2, x3, x4) ∈ 
                (R^4)/2  x1 - x3 + 2  x4 = 0,  3  x1 - 2  x2 + x3 - x4 = 0} 
V = 
        subespacio generado por (3, -1, 2, 0)  (1, 0, 0, 
            1)  (1, -1, 2, -2)
¿Cuál es la dimensión del subespacio suma? ¿Es (R^4) suma directa de U y V?
6.- Dados los subespacios de (R^3)
U = 
        subespacio generado por (3, 2, 1)   (-2, 1, 1)
V = 
        subespacio generado por (-1, 2, 1)   (3, 1, 1)
calcúlese una base de U ⋂ V.