Práctica 3 : 
        Cambio de Base y Aplicaciones Lineales.

1.  -  Matriz de cambio de base.

Consideremos una base B de un espacio vectorial V .  
          Entonces la matriz s formada por las coordenadas de los vectores de B escritos en columna respecto de una base fija B0 da lugar a la  matriz de cambio de base de B a B0 .  
          Además,  
      su matriz inversa da lugar a la matriz de cambio de base de B0 a B

      De esta forma dado un vector v escrito en coordenadas respecto de la base B podemos calcular sus coordenadas respecto de B0 multiplicandolo a la derecha por s o si conocemos sus coordenadas respecto de B0 multiplicándolo a la derecha por Inverse[s].

Por ejemplo,  
      si consideramos la base B formada por los vectores de (R^3) {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) } y el vector v = (0, 2, 
            3) entonces sus coordenadas en B son:

s=(({{1, 1, 1}, {1, 1, 0}, {1, 0, 0}}));
Inverse[s] . {0, 2, 3}

De igual manera si un vector w tiene coordenadas (3, 2, -2) respecto de la base B anterior entonces sus coordenadas respecto de la base usual son

s . {3, 2, -2}

De esta forma si B1 y B2 son dos bases de un mismo espacio vectorial y escribimos las matrices s1 y s2 formadas por las coordenadas de los vectores de B1 y B2, respectivamente, escritos en columna respecto de una base fija entonces p=Inverse[s2] . s1 es la matriz del cambio de base de s1 a s2.

Así,  
      si consideramos las bases B1 y B2  de (R^3) 

      B1 = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) }

      B2 = {(0, 1, 2), (0, 1, 0), (1, 0, 0) }

       y el vector v con coordenadas (2, 
          1, -1) respecto de la base B1 entonces la matriz de cambio de base p y las coordenadas de v en B2 son:

s1=(({{1, 1, 1}, {1, 1, 0}, {1, 0, 0}}));
s2=(({{0, 0, 1}, {1, 1, 0}, {2, 0, 0}}));
p = 
        Inverse[s2] . s1;
MatrixForm[
      p]
p . {2, 1, -1}

Ejercicios,
1.  -  
            Calcúlese la matriz de cambio de base de la base 
B1 = {(2, 1, 3, 2), (1, -2, -1, 0), (1, 1, 
              1, 0), (3, 2, 1, 1)} en la base
B2 = {(1, 0, 1, 0), (1, 0, 1, 1), (1, 2, 1, 
                  1), (0, 1, 1, 1)} .  
              Si un vector v tiene coordenadas (1, 1, 1, 
              2) en la base B1, ¿cuáles son sus coordenadas en la base B2?¿y en la base usual?,
2.- En (R^3) se considera la base dada por B={(1, 0, 0), (-1, 0, 1), (-1, 
                1, -1)} y el subespacio W generado por los vectores (1,2,1) y (-1, 0, 2) .  Demuéstrese que el vector u de (R^3)con coordenadas (9, 0, 4) en la base B pertenece a W.

2.  -  
        Definición de una aplicación lineal.

Para definir una aplicación lineal f escribiremos \y podremos evaluar en un vector v cualquiera escribiendo f[v].

Por ejemplo si consideramos la aplicación de (R^4) en (R^3) dada por f (x1, x2, x3, 
            x4) = (x1 - x3 + 2 x4, x1 - x2 - x4, 
              3  x2 - 2  
                  x3) y la queremos evaluar en los vectores v = (1, 0, 1, 1) y w = (3, 2, 1, 2):

f[{x1_, x2_, x3_, x4_}] := {x1 - x3 + 2 x4, x1 - x2 - x4, 
        3  x2 - 2  x3}
f[{1, 0, 1, 1}]
w = {3, 2, 1, 2};
f[w]

Para calcular el núcleo de la aplicación lineal anterior basta con calcular los vectores cuya imagen es el vector cero.

Solve[
      f[{x1, x2, x3, x4}] == {0, 0, 0}, {x1, x2, x3, x4}]

Un sistema generador de la imagen se puede conseguir calculando la imagen de los elementos de una base del espacio de partida.

f[{1, 0, 0, 0}]
f[{0, 1, 0, 0}]
f[{0, 0, 1, 0}]
f[{0, 0, 0, 1}]

A partir de este sistema de generadores se puede conseguir una base tal y como vimos en la práctica anterior.

Ejercicios,
1.  - 
            Defínase la aplicación lineal de (R^3) 
              en (R^2) dada por f (x1, x2, x3) = (2  x1 - x3, 
                x1 + x2 + 
                  x3) y calcúlese la imagen de los vectores v1 = (0, -1, -1) y v2 = (3, 1, 0)
2.- Defínase la aplicación lineal f (x1, 
              x2, x3)=(x1 + x2, x2 - x3, 
            x1 + x3) y calcúlese su núcleo y su imagen .  Demuéstrese que (R^3) 
          es suma directa del núcleo de f y de su imagen
3.- Dada la aplicación f (x1, x2, 
              x3)=(x1, x2 + x3, x1 - x3, 
            x1 + x2 + x3) pruébese que el vector (2, 1, 1, 
            3) pertenece a la imagen de f y que (3, 2, -1, 
            2) no pertenece.

3.  -  
        Matriz de una aplicación lineal.

Dada una aplicación lineal f desde un espacio vectorial V en otro W con bases B1 y B2,  
      respectivamente,  la matriz que representa a f respecto de las bases B1 y B2 es aquella que está formada por columnas por la imagen de los vectores de B1 escritos en coordenadas respecto de la base B2

Por ejemplo dada la aplicación lineal f (x1, 
            x2) = (x1 - x2, 
              2  x1 + x2, -x1 + 2  x2) y las bases B1 = {(1, 
              2), (2, 1)},  
      B2 = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 
              1)}  la matriz que representa a f respecto de las bases B1 y B2 se calcula como sigue:

f[{x1_, x2_}] := {x1 - x2, 
        2  x1 + x2, -x1 + 2  x2}
Solve[
      f[{1, 2}] == a1 {1, 0, 0} + a2 {1, 1, 0} + a3 {0, 1, 1}, {a1, a2, 
        a3}]
Solve[
      f[{2, 1}] == a1 {1, 0, 0} + a2 {1, 1, 0} + a3 {0, 1, 1}, {a1, a2, 
        a3}]

Y así la matriz que representa a f es m=(({{-2, -4}, {1, 5}, {3, 0}})).

Una vez que tenemos la matriz que representa a nuestra aplicación lineal respecto de dos bases B1 y B2, todos los cálculos que siguen estarán hechos en coordenadas respecto de estas bases .  Por ejemplo, una base del núcleo de la aplicación se calcula usando el comando NullSpace[matriz de f]. Y un sistema generador de la imagen lo dan los vectores columna de la matriz que representa a f (del cual se puede extraer una base del subespacio).

Dada la aplicación lineal f (x1, x2, 
            x3) = (x1 + x2 + x3, x1 - x2, 2  x2 + x3),  
      la matriz que representa a f respecto de las bases B1 = {(1, 0, -1), (1, 1, 1), (0, 0, 1)} y B2 = {(1, 2, 
                0), (0, 1, 0) (1, 1, 
                  1)} se puede calcular como:

f[{x1_, x2_, x3_}] := {x1 + x2 + x3, x1 - x2, 
        2  x2 + x3}
Solve[
      f[{1, 0, -1}] == 
        a1 {1, 2, 0} + a2 {0, 1, 0} + a3 {1, 1, 1}, {a1, a2, 
        a3}]
Solve[
      f[{1, 1, 1}] == a1 {1, 2, 0} + a2 {0, 1, 0} + a3 {1, 1, 1}, {a1, 
        a2, a3}]
Solve[
      f[{0, 0, 1}] == a1 {1, 2, 0} + a2 {0, 1, 0} + a3 {1, 1, 1}, {a1, 
        a2, a3}]

Con lo que la matriz es (({{1, 0, 0}, {0, -3, -1}, {-1, 3, 1}})) .

m=(({{1, 0, 0}, {0, -3, -1}, {-1, 3, 1}}));
NullSpace[
      m]

Por tanto una base del núcleo está dada por el vector que en coordenadas respecto de B1 viene dado por (0, -1, 3)  y que escrito en coordenadas usuales es

s1=(({{1, 1, 0}, {0, 1, 0}, {-1, 1, 1}}));
s1 . {0, -1, 3}

Es también útil tener en cuenta que se pueden utilizar las matrices de cambio de base para calcular la matriz que representa a una aplicación lineal respecto de bases diferentes a las dadas. 
Sea V un espacio vectorial con dos bases B1 y B2 y W otro espacio con bases B3 y B4 . Entonces si m es la matriz que representa a una aplicación lineal f de V a W respecto de las bases B1 y B3, la matriz n que representa a f respecto a las bases B2 y B4 es n=s1 . m . s2 donde s2 es la matriz de cambio 
de base de B2 a B1 y s1 la de cambio de base de B3 a B4.

Ejercicios,
1.  - 
            Sea f la aplicación lineal de (R^3) 
              en (R^4) dada por f (x1, x2, x3) = (x1 - 2  x2, 
            x1 - x3, x1, x2 + x3)
Calcúlese la matriz asociada a f respecto de las bases B1 = {(1, 2, 3), (-1, 2, 1), (2, 0, 1)} y 
B2 = {(1, 0, 1, 0), (-1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 
                1), (0, -1, 0, 
                1)} .  ¿Cuál es la matriz asociada a f para las bases usuales?, 
2.  - Sea f (x1, x2, x3) = (x1 + x2 - x3, 
            x1 - x2 - 
              2  x3) la expresión de una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales V y W con bases respectivas B1 y B3
Si escribimos en coordenadas respecto de B1 la nueva base  B2 = {(1, 1, 1), (-1, 0, 1), (2, 0, 
                1)}   de V .  Calcúlese 
la matriz asociada a f respecto de las bases B2 y B3,
3.-Sea (({{1, 2}, {3, -1}, {-1, 0}})) la matriz que representa a una aplicación f de (R^2)en (R^3)respecto de las bases usuales .  Calcúlese la matriz asociada a f respecto de las bases B1={(1, 2), (0, 1)} y 
B2 = {(1, 1, 1), (-1, -1, 0), (3, 0, 
                0)},
4.-Sea (({{1, 2, -1}, {0, -4, 2}})) la matriz asociada a una aplicación f respecto de las bases B1 y B2 .  Calcúlese el núcleo y las ecuaciones del subespacio imagen,
5.  - Consideremos las bases de (R^3)
B1 = {(1, 2, -1), (0, 1, 1), (0, 2, 1)}
B2 = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (-1, 0, 1)}
las de (R^4) 
B3 = {(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 
            0), (1, 1, 1, 1)}
B4 = {(0, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 
            1), (1, 1, 1, 1)}
y la aplicación lineal cuya expresión matricial respecto de las bases B1 y B3 es
(({{1, 2, 4}, {1, 0, 2}, {3, -1, 5}, {-1, 0, -2}}))
Calcúlese las ecuaciones del núcleo y de la imagen y demuéstrese que la expresión matricial de la aplicación respecto de las bases B2 y B4 es
(({{23, 1, -9}, {7, 0, -3}, {3, -2, -3}, {-26, 1, 12}}))
6.  -  
            Consideremos en (R^3) 
              la base B = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (-1, 0, 
                1)} y el subespacio 
V = {(x1, x2, x3) ∈ (R^3)/x1 + 2  x2 - x3 = 0} .  
            Si f es la aplicación lineal de (R^3) 
          en (R^4) con matriz respecto de la base B de (R^3) 
          y la base usual de (R^4)
(({{1, 0, 2}, {1, 1, -1}, {0, 1, 5}, {0, 2, 0}})), calcúlese una base de la imagen del subespacio vectorial V.