DETERMINACIÓN DE CONCEPCIONES Y FUNCIONAMIENTOS DEL GRÁFICO CARTESIANO DE FUNCIONES: PROBLEMÁTICA DIDÁCTICA

Eduardo Lacasta Zabalza^*

Tras la reforma conjuntista, la consideración de la función como una aplicación entre conjuntos relega la dependencia entre variables a la idea de que la función asigna arbitrariamente una imagen a un elemento cualquiera de un conjunto. Con ello, el concepto fundamental de la función como el modelo que en ciencias caracteriza la dependencia entre magnitudes que varían, se ve postergado. Claude Janvier (1993) cuestiona la orientación conjuntista de los programas, proponiendo una aproximación más ecléctica a la noción de función que pudiera volver a darle su riqueza y complejidad.

Janvier utiliza para ello las "traducciones" posibles entre cuatro modos de representación de la función, que vendrían determinadas por la tabla adjunta. Estos cuatro modos han tenido una presencia innegable en la génesis histórica de la noción de función y del Análisis.

La toma en consideración de las posibilidades de traducción entre diferentes modos de representación de la función condujo a Claude Janvier a idear gran cantidad de ingeniosos problemas, recogidos en diversos trabajos de investigación y en las propuestas del Shell Centre y los Estándares Curriculares de la NCTM, en las que se prima la utilización de otros modos de presentación de la función, como la descripción verbal o a través de un texto y el paso de un modo de presentación a otro, no solamente el paso usual de la fórmula a la gráfica. La influencia de estas actividades en los libros de texto de la Educación Secundaria Obligatoria en España es notoria.

En su tesis doctoral y en sus primeros trabajos, se refleja la pretensión de mejorar la enseñanza de las funciones a través de este tipo de actividades, siguiendo una lógica que se podría describir así: se detecta una deficiencia en el aprendizaje de las funciones, se incide sobre su enseñanza (a través de la confección de nuevos programas y el diseño de actividades docentes) y se logra finalmente una mejora.

Sin embargo, Janvier reconoce en trabajos posteriores la complejidad del tema abordado, que no se puede analizar ni resolver con actuaciones puntuales. Por ejemplo, en muchos de los ejercicios citados aparece la variable tiempo. El mismo Janvier (1993), llama "crónicas" a las funciones que dependen explícita o implícitamente de la variable tiempo y las distingue de las demás funciones, reconociendo su especial dificultad y rectificando con ello anteriores análisis. Por el contrario, se pregunta si la crónica no es un "obstáculo epistemológico" tal como lo describe Brousseau (1998). Esta interrogación supone la apertura de un campo no abarcado hasta entonces desde la Educación Matemática.

Estas presentaciones han sido tratadas utilizando distintas nociones surgidas en el campo didáctico (cambio de marco o "jeux de cadres", ostensivos…), en el campo semiótico y cognitivo ("registros" en los trabajos de Duval). En los trabajos de investigación sobre la didáctica del análisis realizados en el ámbito del "Pensamiento matemático avanzado" y en una perspectiva cognitiva, se interrelacionan distintas presentaciones del objeto función de variable real y se realizan finos análisis que han contribuido a entender mejor la importancia de la visualización en la didáctica del análisis matemático.

En Lacasta (1995) se describen 5 funcionamientos del gráfico, obtenidos a través de un análisis del objeto (el GCF) "en términos de situaciones"; es decir, formando parte de un sistema, en el que, al intervenir como milieu, como medio material, es utilizado por el alumno y por el profesor de maneras distintas, que describen roles distintos.

Cuando el gráfico de la función es usado como ábaco, es un instrumento efectivo, estandarizado, de obtener resultados numéricos mediante la utilización de sus propiedades locales, siguiendo un procedimiento algorítmico.

Soporte gráfico: curva no extrapolable trazada en el plano cartesiano, con ejes y escalas.

Utilidad:

El gráfico de una función contiene informaciones de orden topológico, aunque más difusas que las de carácter métrico. Existen propiedades topológicas implícitamente empleadas con los gráficos, que el profesor o los autores de manuales escolares pueden utilizar para economizar precisiones teóricas o para ilustrar funciones con unas características prefijadas. Cuando el profesor usa el gráfico como mensaje topológico, está suponiendo en el alumno una percepción en cuanto a la continuidad, límites, etc., que puede estar lejos de poseer.

Soporte gráfico: El gráfico usado como soporte de un mensaje topológico se convierte en una curva referida a unos ejes, que no presenta necesariamente valores numéricos y que representa una función cualquiera; lo que está dibujado, con frecuencia puede no tener ninguna relación con una ecuación en particular.

Utilidad: El mensaje topológico da el mismo tipo de informaciones que lo que se conoce como "tabla de variación" de una función, en la que se recoge el signo de la función, los intervalos de crecimiento, los máximos y mínimos, etc. El gráfico se convierte en un soporte de características de funciones genéricas.

Limitaciones: No es posible precisar los valores numéricos en los ejes, pero las variables deben definirse en un conjunto ordenado; por ejemplo, no se puede usar la función mensaje topológico sobre un histograma.

En general el ideograma es una transformación conforme de la curva y conserva esencialmente algunas propiedades topológicas. Pero es preciso determinar qué se puede perder con relación al mensaje topológico, para poder distinguir entre las dos especializaciones del gráfico y para saber si existe verdaderamente un uso especial.

El ideograma es un signo gráfico que representa una idea (una expresión gráfica, una función afín, cuadrática, etc.)

Soporte gráfico:

1. La curva no está necesariamente referida a unos ejes, pero siempre contiene los puntos singulares y todos los elementos característicos de un tipo de función.
2. Además de la curva, puede haber un repertorio de símbolos que permiten reconocer el ideograma. Por ejemplo, para reconocer la hipérbola, hay que dibujar las asíntotas, para no confundirla con otro tipo de curva.

Utilidad: El ideograma puede representar una familia de funciones que permiten identificar una categoría de funciones.

Limitaciones:

1. El cambio de relación entre las escalas de los ejes cambia el ideograma. Una parábola con el eje vertical no es el ideograma de la función cuadrática cuando es demasiado estrecha o demasiado ancha.
2. El ideograma es una función de comunicación pura, mientras que el ábaco y el mensaje topológico permiten la puesta en marcha de ciertas acciones.

El gráfico puede funcionar como un modo de control. Pero no como medio de control de la acción, sino del discurso, de la comunicación. En este caso el gráfico se convertirá para el alumno en lo que podemos llamar también un elemento interactivo no algorítmico. Para obtener resultados, el profesor deberá enseñarlo como tal instrumento efectivo no algorítmico.

He aquí algunas tareas que solicitan este funcionamiento:

• encontrar el mayor intervalo de x para el que la función es creciente; encontrar los valores de x para los que la pendiente de la tangente es la mayor, es positiva, etc.
• encontrar la función afín que tiene una representación gráfica dada;
• encontrar la función polinómica de segundo grado que admite una formulación algebraica dada y que tiene una representación gráfica dada.

Se trata del funcionamiento del gráfico como medio de control de la comunicación y como medio de determinación de otro objeto. Este funcionamiento tiene lugar cuando la respuesta a un problema se obtiene mediante una relación efectiva con el gráfico.

El trabajo matemático en estos cuatro funcionamientos tiene un denominador común: se realiza en el lenguaje matemático usual del análisis: fórmulas, símbolos (desigualdades, valor absoluto, etc.).

El funcionamiento del gráfico como estructura matemática ideado por Pedro Alson, es un trabajo de ingeniería didáctica en el que se definen unos entes primitivos (caminos, curvas, bisectriz, etc.), unas convenciones de codificación y unas transformaciones "horizontales" y "verticales" aplicables a cada curva de función. Estas transformaciones son instrumentos para componer gráficamente funciones. A través de esta estructura se desarrolla, sin definir límite, continuidad ni derivada, una parte del cálculo propio de la enseñanza secundaria.

Esta estructura está legitimada por un trabajo matemático, basado en la teoría de categorías (desarrollada sobre todo por MacLane en el ámbito del álgebra).

Alson define además unos "descriptores" y un "functor" entre categorías de funciones y de gráficas, que asegura la correspondencia operativa de ciertas manipulaciones algebraicas con sus respectivas manipulaciones en la presentación gráfica. Dicho de otra manera, la curva se convierte en un objeto del saber matemático "función".

De todas maneras, los funcionamientos definidos pueden estar presentes a la vez en algunos casos. En concreto, el funcionamiento operatorio y el "estructura matemática" se combinan con el ábaco.

La finalidad de un sistema didáctico es la de transmitir un conocimiento de una institución a otra, con el fin de compartir un saber. Así pues, su funcionamiento hará aparecer sucesiones de acontecimientos que dan testimonio de la actividad de una, de la otra o de las dos instituciones conjuntamente. La observación de un sistema se puede pues fundamentar en la recogida y la interpretación de series de informaciones o de índices relativos a ese sistema, a las que llamaremos crónicas. Ello conducirá a inferir relaciones entre esos acontecimientos, sus causas, sus condiciones y los fenómenos que les acompañan, con el objetivo de poderlos prever.

Por ejemplo, en cuestionario propuesto a un alumno, se podrán distinguir descriptores de las cuestiones (cuestión abierta o cerrada, que implica o no tal o cual operación matemática, tal procedimiento, etc.) y descriptores del alumno (edad, clase, resultados generales en clase, sentado o de pie, etc.). La descripción de un comportamiento del alumno tomará la forma de un patrón de respuestas.

En una secuencia de situaciones típicas de un saber determinado, existen varios patrones "equivalentes"; es decir, que son igualmente correctos, pero diferentes desde el punto de vista de la eficacia, de su costo, de su carácter más o menos general, etc.

Esta diferencia se pone de manifiesto mediante una segunda secuencia de situaciones en las que los patrones de respuesta –las concepciones– aparecen entonces como distintas.

En nuestra tesis (Lacasta 1995) se propuso a estudiantes de distintos niveles la resolución de una serie de tareas: intersección de funciones, determinación del signo de la función, etc. Las mismas tareas fueron realizadas para funciones polinómicas de primero y segundo grado, definidas a través de su gráfica, de su fórmula y de una tabla numérica. El análisis multivariante puso de manifiesto que

• no hay índices para poder afirmar que exista una concepción gráfica y una concepción no gráfica. Antes bien, las respuestas de los alumnos están agrupadas siguiendo el criterio del tipo de problema planteado y no según la presentación de las funciones en los problemas propuestos. O sea, que la variable "conocimiento matemático" agrupa mejor las respuestas de los alumnos que la variable "presentación" de las cuestiones (mediante gráfico, tabla numérica o fórmula algebraica),
• la presentación de las cuestiones no influye en el éxito global en cada uno de los modos de presentación y
• la presentación gráfica no juega un papel significativamente distinto de los otros modos de presentación. La noción matemática es el medio principal de los conocimientos necesarios para la resolución de los problemas planteados.

En otro cuestionario en el que se planteaba un mismo problema de proporcionalidad con diferentes enunciados, planteado a través de un texto, de un gráfico y de una tabla numérica, se encontró que

• el uso del gráfico como instrumento de conocimiento intuitivo y de aprendizaje es especialmente apreciado por los estudiantes de Matemáticas II de COU, de acuerdo con la idea que se explicita en el programa seguido (que prima el trabajo "intuitivo" a través de los gráficos). Para estos alumnos, el GCF sería una alternativa al conocimiento propiamente matemático.
• la preferencia por los problemas planteados mediante "texto" o "tabla numérica" implica el éxito en los problemas presentados de estos modos, pero la preferencia por el gráfico no implica el éxito en la determinación gráfica de la proporcionalidad ni el empleo del gráfico como ábaco.

El problema de encontrar situaciones fundamentales para las nociones propias del análisis (función de variable real, límite, continuidad, etc.) está abierto. Se sabe que el análisis de los intentos fundamentados, como la "situación del petrolero" de Marc Legrand y Di Martino no han dado una respuesta positiva. Si, como hasta el momento, no se tiene una situación fundamental, tendremos al menos una situación con dimensión a-didáctica para el alumno, gracias a un milieu que favorezca la formulación y la validación y ofrezca un cierto margen a la actividad matemática del alumno. Es decir, una situación con una dimensión a-didáctica para el alumno (Bloch I. 1999).

Alain Mercier describe la situación que conlleva una dimensión adidáctica como aquélla en la que el milieu permite la acción del alumno, ofreciendo un soporte bastante pertinente, desde el punto de vista del sentido, a la formulación y a la validación. Dicho de otra manera (siguiendo a Mercier), un milieu que ofrezca un cierto margen para la actividad del alumno, así como para la explotación de esa actividad en el proceso de institucionalización. Ahora bien, el milieu material (el GCF en nuestro caso) no puede ser el milieu de la validación (siguiendo a Claire Margolinas y a Brousseau).

Sin embargo, lo que caracteriza al funcionamiento "estructura matemática" de Alson es que es el único único milieu que cambia los objetos del saber (caminos, bisectriz, etc., en vez de los elementos propios del análisis, como las fórmulas, epsilon, etc.). Una conjetura que necesita ser estudiada más a fondo sería que, gracias a ello, permite la formulación y la validación y ofrece un margen más amplio a la actividad matemática del alumno, en comparación con el ábaco y el ideograma.

La importancia del milieu, del medio, en la modelización de la teoría de situaciones es crucial. Baste como referencia que, en Brousseau (1998, p.16) se cita como hito más importante en 20 años, desde la primera formulación de la teoría de situaciones en 1970, la aparición del artículo "Le contrat didactique : le milieu" (Brousseau, 1990) en "Recherches en didactique des mathématiques".

Partimos de la hipótesis de orden metodológico expuesta por Brousseau (1998, p. 43-45): "cuando el profesor prepara su clase, lo que organiza es la situación objetiva, es decir, el milieu material y la acción de un actor objetivo". De esta manera, al definir también la reglas que definen el éxito o el fracaso, prepara ese milieu material. No obstante, debe "enfocar las interacciones de un sujeto con ese ‘milieu’. Este sujeto simbólico, el actor objetivo, se supone que debe efectuar las acciones esperables y repertorizadas, siguiendo la ‘cultura’ de la clase. Ese par milieu-actor constituye la situación objetiva que se propone en definitiva al alumno, con la cual debe interactuar. Por lo tanto, constituye para el alumno, el milieu adidáctico" (aunque la situación sólo sea ‘con componente adidáctico’).

El esquema propuesto por Claire Margolinas (1994) establece distintos niveles adidácticos y supradidácticos en los que los papeles que juegan alumno, profesor y situación, definen distintos tipos de medio. El medio material (el GCF) estaría en el nivel "M-3" en la terminología de Margolinas, mientras que la actuación sobre el GCF, cuyas reglas que definen el éxito o el fracaso están definidas por el profesor estaría sobre todo en el nivel M-2, pasando a tratarse de un medio objetivo.

Brousseau distingue dos tipos de interacciones de un sujeto con un milieu: interacciones ficticias e interacciones efectivas. Están caracterizadas de la siguiente manera:

• la interacción efectiva es la que no depende enteramente del actor. Recibe del exterior sanciones no previstas por él. Es claramente el caso del GCF funcionando como milieu operatorio, o como estructura algebraica.
• por el contrario, si el profesor busca organizar un milieu en el que el actor actúa en condiciones que intentan hacerle evitar las confrontaciones, entonces estamos ante interacciones de tipo ficticio.

Este último es el caso del milieu ábaco y, sobre todo, del ideograma, que favorece especialmente las relaciones ostensivas; en ambos casos se trata de interacciones ficticias. No obstante, el ábaco puede compartir su funcionamiento con el operatorio o con el "estructura matemática", contribuyendo así a una interacción efectiva.

Dilma Fregona (1995) encontró en su tesis importantes conclusiones que pueden tener relación con el papel que juegan los gráficos de funciones. En concreto, un medio "material" (que en la tesis de Dilma Fregona es el de las figuras planas, pero que en nuestro caso es el GCF), al que se le suponen virtudes que lo hacen idóneo para encontrar un campo común, en el que profesor y alumno hablen un mismo lenguaje, no tiene en sí mismo virtudes adidácticas. Nuestros resultados apoyan esta aseveración.

El gráfico cartesiano de funciones (GCF) ha jugado un papel fundamental en el estudio escolar de las funciones y continuará haciéndolo.

• El GCF gozará todavía durante mucho tiempo de un prejuicio favorable, como marco y como soporte intuitivo, porque acompaña las representaciones más operativas de los matemáticos,
• el GCF ha de continuar siendo irremplazable,
• su utilización ha de cambiar sin duda, como todas las nociones que la tecnología informática (programas como DERIVE, MATHEMATICA, ORGE y, sobre todo las calculadoras gráficas que pronto estarán al alcance de una gran parte de los estudiantes de secundaria y bachiller) puede usar o simular;
• sin embargo, es posible que la utilización que los profesores hacen de los gráficos sea la causa de algunos fracasos, por la confianza que provoca en procedimientos matemáticos y didácticos dudosos, sin un adecuado control de sus efectos,
• el GCF, –en combinación con otras presentaciones de la función (fórmula, tabla numérica, texto…)– no contiene en sí mismo elementos que aseguren la construcción del conocimiento matemático. Dicho de otra manera, el GCF no facilita "per se" que el alumno pueda hacer frente a una situación desprovista de intención didáctica explícita y, a través del proceso descrito en la teoría de situaciones, acabe construyendo el conocimento pretendido,
• son los medios (milieux) gráficos (ábaco, ideograma, etc.) los que favorecen o dificultan la componente adidáctica de la situación en la que interviene el GCF y, finalmente
• según el uso que se haga del GCF, se tienen distintos medios objetivos. La determinación de los instrumentos necesarios para ejercer un control sobre el medio es un cuestión didáctica que continúa abierta.