Universidad de Granada

RESUMEN

1. INTRODUCCIÓN

La Teoría de Situaciones Didácticas (TSD) constituye el núcleo de lo que llamaremos "aproximación epistemológica" a la didáctica de las matemáticas, en la cual se entra al estudio de los problemas didáctico-matemáticos desde el polo del saber matemático, problematizando la naturaleza de dicho saber y haciendo depender las restantes facetas del estudio (psicológica, sociológica, etc) de los resultados del análisis epistemológico.

Desde hace algunos años están surgiendo dentro de la aproximación epistemológica a la Didáctica de las Matemáticas diversos modelos teóricos cuya compatibilidad con la TSD debe ser examinada. Se proponen nuevos constructos para modelizar la actividad matemática y didáctica cuya utilidad para describir y explicar los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas debe ser analizada, con el fin de ir construyendo progresivamente el núcleo firme de un programa de investigación para la didáctica de las matemáticas.

Dos de estos modelos, pertenecientes a la aproximación epistemológica cuya compatibilidad y complementariedad respecto a los postulados y proposiciones de la TSD requiere investigación, son la teoría antropológica desarrollada por Chevallard (1994), Chevallard, Bosch y Gascón (1997) y la teoría de las funciones semióticas (TFS) y la ontología asociada de Godino y Batanero (1994, 1998), Godino (1999a y b).

La idea impulsora de este trabajo consiste en mostrar que la TFS se puede incorporar de manera consistente y útil dentro de la TSD (Brousseau, 1986), aunque la incorporación de algunos supuestos de tipo antropológico puede requirir una revisión profunda del modelo instruccional implícito en la TSD. Veremos que el análisis que hace la TSD de las tareas instruccionales puede completarse mediante el empleo de algunas herramientas de la TFS para explicar las dificultades potenciales de los alumnos. Asímismo, la noción de función semiótica puede enriquecer y precisar la idea de sentido, la cual se usa sólo de manera implicita en la TSD, a pesar de ser considerada como esencial.

El constructo significado institucional y personal de un objeto matemático como sistema de prácticas actuativas y discursivas aporta precisión a la noción de concepto en la TSD, permitiendo establecer relaciones entre esta teoría y las teorías de los campos conceptuales (Vergnaud, 1990) y antropológica.

El análisis teórico que pretendemos realizar vamos a ejemplificarlo mediante la aplicación de las nociones semióticas mencionadas a las experiencias, resultados y discusiones que se describen en el trabajo de G.y N. Brousseau (1991) sobre la medida en la escuela primaria titulado "El peso de un recipiente. Estudio de los problemas de la medición en CM". Esto nos va a permitir aclarar las nociones semióticas y su potencial utilidad. Comenzaremos con un resumen y discusión del contenido del artículo de Guy y Nadine Brousseau. Remitimos al lector a los trabajos citados de Godino y Batanero para un conocimiento más amplio sobre lo que describimos como "teoría de las funciones semióticas" (TFS), y que consideramos como una herramienta para el análisis de la actividad matemática y los objetos emergentes de la misma.

2. CONOCIMIENTOS PUESTOS EN JUEGO EN "EL PESO DE UN RECIPIENTE"

El artículo "El peso de un recipiente. Estudio de los problemas de la medición en CM" tiene dos partes bien diferenciadas: (1) Parte experimental: descripción y análisis de dos experiencias de enseñanza sobre la medida de la magnitud peso (estimación y posterior comprobación efectiva del peso de un recipiente con vasos de agua y del recipiente vacío); (2) Parte teórica: análisis de la complejidad del concepto de medida y los problemas que plantea su enseñanza.

Ambas partes son precedidas por una introducción en la que se enmarcan las dos experiencias dentro de una secuencia de 30 lecciones sobre la medida en CM1 en la escuela J. Michelet (alumnos de 9-10 años) y se describen los dos objetivos generales de ambas experiencias: (a) Objetivo específico de la magnitud peso: estimación y peso efectivo del peso de un recipiente vacío, necesario para hallar el peso de materiales indisociables del recipiente que los contiene; (b) Objetivo epistemológico (relación entre los modelos matemáticos y la realidad empírica): desviaciones entre las previsiones y cálculos hechos mediante el ajuste de un modelo matemático y los datos empíricos obtenidos mediante las manipulaciones y observaciones.

La justificación de tratar este "problema epistemológico" precozmente en este momento del proceso de enseñanza la hacen G.y N. Brousseau mediante una sutil observación: El conocimiento de los decimales por parte de los niños puede impedir la asunción del problema por parte de éstos ya que pueden pensar que la desviación entre las previsiones y los datos empíricos se puede evitar expresando las medidas con más decimales.

El desarrollo de las actividades se implementa según el modelo instruccional que propone la TSD:

• Devolución de una situación-problema a los alumnos, en este caso mediante la consigna: "Haced una previsión (adivinar) del peso del recipiente con 1 vaso de agua" (seguida de previsiones sucesivas del peso con 2, 3, 4, y 5 vasos de agua).
• Secuencia de situaciones a-didácticas, con las fases:
• de acción (situaciones de anticipación y medición)
• de comunicación
• comparación y elección de estrategias que llevan a la validación de los resultados obtenidos.
• Situación de institucionalización, en la que la maestra revela a los niños el carácter cultural de los saberes de los que ellos ya se han apropiado (en el curso de las diferentes experiencias que se han hecho).

La información sobre los resultados obtenidos es bastante escueta. Los autores se limitan a afirmar que los objetivos pretendidos se han logrado: "La mayor parte de los niños han sabido resolver más tarde los problemas clásicos de determinación del peso del contenido o del peso del recipiente. También han tomado conciencia de las desviaciones entre los resultados y las manipulaciones y los cálculos numéricos, han aceptado tomarlas en consideración y han sabido comentarlas. Muchos de los alumnos eran capaces de encontrar un intervalo y de dar un valor central, de elegir valores próximos, de rechazar los valores demasiado alejados y sobre todo de aceptar los de sus compañeros cuando eran diferentes de los suyos pero tenían desviaciones razonables" (p. 12).

La experiencia didáctica descrita la consideramos extraordinariamente rica desde el punto de vista de los conocimientos puestos en juego, de la situación-problema elegida y de la secuencia de actividades implementadas. Un porcentaje elevado de alumnos han sido confrontados con éxito a conocimientos empíricos, matemáticos e incluso epistemológicos valiosos. Pero como investigadores debemos preguntarnos qué ocurrió con los niños que no han logrado los objetivos. ¿Son excesivamente complejos y ambiciosos los conocimientos pretendidos para los alumnos de estos niveles? ¿Es adecuada la trayectoria didáctica de tipo heurístico-constructivo implementada para los estudiantes con menor capacidad?

Consideramos necesario dotar a la TSD de nuevos instrumentos teóricos que permitan desvelar el nivel de complejidad de las tareas y los conocimientos pretendidos y, por tanto, aportar explicaciones de las dificultades de los sujetos, e identificar puntos críticos del proceso instruccional. La noción de función semiótica que proponemos y la ontología asociada pretende ser uno de dichos instrumentos al hacer posible un análisis epistemológico y cognitivo más pormenorizado.

La noción de conocimiento que adoptamos es más general que la propuesta por la TSD. El conocimiento y la comprensión de un objeto O (sea ostensivo o no ostensivo, elemental o compuesto) por parte de un sujeto X (persona o institución) se modeliza en términos de las funciones semióticas que X puede establecer, en unas circunstancias fijadas, en las cuales se pone en juego O como funtivo. Cada función semiótica (par formado por una expresión y un contenido) implica un acto de semiosis por un agente interpretante y constituye un conocimiento. Los contenidos y las expresiones de las funciones semióticas pueden ser cualquiera de los cinco tipos de entidades primarias consideradas: extensivas, ostensivas, actuativas, intensivas y validativas (Godino, 1999a y b).

En este apartado describimos las cuestiones y tareas propuestas a los niños, las soluciones que cabe esperar para las mismas y los conocimientos que tales soluciones ponen en juego. El enunciado de las cuestiones y las soluciones esperadas son una elaboración personal, ya que no figuran de manera explícita en el artículo, pero pensamos que responden al contenido del mismo. Llamaremos 'análisis epistémico' de la crónica de un proceso instruccional (o de una parte de dicho proceso) a la identificación de los diversos conocimientos puestos en juego en el mismo.

Cuestión 1: ¿Cuál es el peso estimado del recipiente con 1 vaso de agua?

Dependiendo del tamaño del vaso y del recipiente, parece que una solución aproximada para el peso del objeto podría ser alrededor de 250 gramos. En esta primera estimación los alumnos, sin información previa, deben basarse en su experiencia (adquirida en lecciones anteriores, o en la vida cotidiana) sobre la magnitud peso; se supone que han hecho pesadas de objetos diversos, por lo que es plausible que hagan una estimación razonable, y no una adivinación arbitraria.

Análisis epistémico: El sujeto que proporciona la respuesta esperada pone en juego, de manera explícita o implícita, los siguientes objetos y conocimientos:

E1.1: La expresión interrogativa denota una tarea problemática particular (extensivo), que a su vez constituye un ejemplo del tipo de problemas de estimación del peso de un objeto (intensivo). Se trata de un ejemplo del tipo de problemas resolubles mediante la función afín: P = R + nV, (n=1).

E1.2: Noción de peso; se trata de una cualidad de los cuerpos físicos cuya comprensión ha requirido procesos de abstracción empírica (entidad intensiva empírica); se trata de una magnitud continua que se debe discretizar en la práctica.

E1.3: Noción de cantidad de peso (intensivo); elemento del conjunto formado por la magnitud peso.

E1.4: El peso del recipiente con un vaso de agua: cantidad particular de la magnitud peso; al objeto ostensivo formado por el recipiente con el líquido se le hace corresponder una de las diversas características perceptibles llamada 'peso'.

E1.5: Unidad de medida (gramo) (intensivo empírico); la palabra 'gramo' se refiere a un ejemplar del juego de pesas y a cualquier otra cantidad que se equilibre con ella en la balanza. En este uso de la palabra 'gramo' se establece una función semiótica entre dos entidades intensionales: la clase de las pesas de gramo y la clase de todas las masas que pesan un gramo. Las pesas de 1g, 10g, 100g son ejemplos (entidades extensivas) de unidades de medida.

E1.6: El número que expresa la medida (intensivo matemático); el número 250 se usa para designar el cardinal de un conjunto que se supone discreto en virtud del proceso de medida aproximada de una magnitud continua.

E1.7: Correspondencia entre cantidad de peso y el número que expresa su medida con la unidad elegida (intensivo).

E1.8: Correspondencia entre la cantidad de agua y el número de pesas que se equilibran en la balanza (ostensivo)

E1.9: Se supone que el alumno conoce el orden de magnitud del peso de un vaso de agua y del recipiente (característica del rasgo que se evalúa en esos objetos, por tanto, una entidad intensional).

E1.10: La acción interiorizada (actuativo, no ostensivo) de medir la cantidad R+V con una unidad. Se supone que la medida se da de modo aproximado en gramos. (Condición de realización de la acción).

Cuestión 2: ¿Cuál es el peso efectivo del recipiente con un vaso de agua medido con la balanza de platillos? ¿En qué grado se aproximan las estimaciones hechas por los alumnos al peso efectivo?

El sujeto que realiza la pesada deberá colocar el objeto a pesar en uno de los platillos y poner las pesas necesarias en el otro de modo que se alcance el equilibrio. Se espera que ponga el menor número posible de pesas.

El valor obtenido se compara con las previsiones de los niños.

E2.1: Situación-problema de medida directa de pesos con una balanza de platillos.

E2.2: Técnica de pesar con la balanza Roverbal: colocación del objeto en uno de los platillos y equilibración del fiel mediante la colocación sucesiva de pesas y posterior recuento. Se trata de una práctica relativamente compleja que pone en juego los cinco tipos de objetos primarios (ostensivos, extensivos, actuativos, intensivos y validativos). [Extensivos: se trata de encontrar cuántas pesas tengo que poner en el platillo para que la balanza se equilibre; intensivos: llamamos peso del recipiente a la suma de los pesos de las pesas usadas hasta llegar al equilibrio; validativos: la posición del fiel de la balanza se usa como justificación de la respuesta.]

E2.3: La disposición tabular de los resultados de las pesadas hechas, usando hg, dg y g, requiere el conocimiento de las convenciones usadas para indicar las unidades de medida de peso. Se requiere interpretar hg como hectogramo (100 gramos), etc. e interpretar los números en las celdas como el número de unidades de cada tipo. (funciones semióticas notacionales).

E2.4:Propiedad de linealidad de la función medida, m(R+nV)=m(R) +n.m(V) (intensivo).

E2.5: El resultado de la pesada se obtiene multiplicando el número de pesas por su valor y sumando (actuativo).

E2.6: El resultado de la pesada se usa como verificación empírica de la estimación (validativo)

Cuestión 3: Si echamos un 2º vaso de agua en el recipiente, ¿cuál será el peso del recipiente con el agua vertida? ¿Cuál será el peso si echamos 2, 3, 4 o 5 vasos?

Tras la segunda pesada el alumno dispone de información para calcular el peso de un vaso de agua, y usar ese cálculo para estimar el peso del recipiente más 3 vasos de agua, modelizando de manera matemática la situación: Por ejemplo,

E3.1: Situación-problema de estimación de la medida de una cantidad de peso R+2V, sabiendo el peso de R+1V. En la segunda estimación aún no se puede calcular de manera indirecta el peso de R, pero el hecho de conocer el peso de R+1V puede permitir una estimación de R+2V más ajustada que en la primera estimación. El alumno, sin haber tenido la oportunidad de sopesar el recipiente de plástico está en condiciones bastante desfavorables para hacer una estimación del peso de R, de modo que la estimación del peso de R+2V sigue siendo bastante abierta. Tras la pesada de R+2V es cuando se le introduce en una situación nueva al poder modelizarla según se ha indicado.

E3.2: Se supone que la cantidad de agua vertida con cada vaso es la misma y que no hay errores en la medición (convenciones, intensivos).

E3.3: El peso del recipiente con agua cambia según una función afín cuando se añaden sucesivos vasos de agua (intensivo).

E3.4: La medida de pesos como función de valores naturales; linealidad de la función medida (intensivos matemáticos); m(R+nv) = m(R) + n.m(V).

E3.5: Aunque el peso del objeto es algo determinado, se supone que se pide una estimación, esto es, un valor aproximado (intensivo).

E3.6: Identificación de las condiciones "aproximadas" de aplicación de la sustracción y la suma de números naturales (intensivos). (La modelización correcta implicaría tener en cuenta que la cantidad de agua contenida en cada vaso puede ser distinta)

E3.7: Se supone que la estimación hecha mediante el modelo matemático no es exacta pero es más ajustada en promedio que la respuesta al azar (característica intensiva del proceso cuya validación matemática requiere el empleo de la teoría de los errores).

E3.8: Realización efectiva de las pesadas de R+2V, R+3V, etc. (pone en juego la técnica de pesar con la balanza de plativos)

E3.9: Realización de las operaciones aritméticas (actuativo).

E3.10: Registro de las estimaciones mediante la disposición notacional del histograma de frecuencias absolutas. Se trata de una técnica compleja que pone en juego diversos objetos primarios (notaciones, extensivos, actuativos, intensivos, validativos)

E3.11: Validación empírica de las estimaciones mediante el peso efectivo del objeto (validación no matemática).

Cuestión 4 (actividad 16ª): ¿Cuál es el peso del recipiente vacio?

Se espera que el alumno ponga en juego el siguiente razonamiento:

"Si el peso del recipiente R más 1 vaso de agua fuera el valor exacto a y el peso de 1 vaso de agua fuera el valor exacto b, entonces el peso de R sería a-b".

E4.1: Situación-problema de cálculo indirecto del peso de R. Se supone que esta cuestión se resolverá usando la información obtenida en las tareas precedentes. El reconocimiento de esta dependencia no tiene porqué ser considerada como obvia. De hecho algunos niños continúan haciendo estimaciones al azar.

E4.2: Se supone que en las circunstancias de la situación dada se puede considerar que los pesos realizados son exactos y que los vasos de agua distintos contienen la misma cantidad (convenio implícito, intensivo).

E4.3: Reconocimiento de las condiciones de aplicación de la sustracción (intensivo).

E4.4: Realizacion efectiva de la operación artimética (actuativo).

E4.5: La maestra usa una variante de histograma para mostrar las estimaciones; se trata de una técnica cuya ejecución e interpretación pone en juego diversos objetos primarios.

E4.6:Validación empírica del cálculo (validativo).

Se sabe que el peso de R es algo definido, pero determinable sólo de manera aproximada mediante experimentación. Por el contrario, el resultado del cálculo se valida de manera lógica, dando lugar a una verdad necesaria, por su naturaleza gramatical. Estos son conocimientos de tipo epistemológico que trae de cabeza a los filósofos; nos parece cuando menos ingenuo pretender que niños de 10-11 años lleguen a vislumbrarlos.

Cuestión 5 (implícita): ¿Por qué las previsiones de los pesos hechas según el cálculo no coinciden con las pesadas realizadas?

Esta cuestión, no formulada de manera explícita, corresponde al segundo objetivo de las experiencias (análisis de errores de medición y confrontación de las previsiones hechas). Como causas posibles de los errores de las estimaciones están: balanza mal ajustada, lectura incorrecta, vasos no siempre llenos del mismo modo, error en el modelo matemático o en el cálculo, estimaciones al azar.

Análisis epistémico: Se requiere de los alumnos que identifiquen una variedad de conocimientos y de hechos empíricos y matemáticos:

E5.1: Ejemplo de situación-problema de reconocimiento de las fuentes de error en las medidas directas de cantidades, en este caso, errores en las medidas de pesos con la balanza de platillos.

E5.2: La medida directa de cantidades (el peso del recipiente con el agua) puede estar afectada de errores (balanza mal ajustada, lectura incorrecta de las pesas o de la posición del fiel, etc).

E5.3: En este experimento se pesan en realidad objetos distintos, ya que aunque el recipiente es siempre el mismo cada vez se añade un vaso de agua diferente.

E5.4: Se requiere conocer el método usado en cada estimación por los distintos niños (estimación al azar, si se ha restado o no el peso del recipiente, si han cometido o no errores en los cálculos). En la recogida de datos no se distinguen los métodos de estimación y cálculo seguidos por los niños, por lo que la distribución de datos puede que no refleje bien la situación.

Cuestión 6 (implícita): ¿Qué métodos de estimación proporcionan respuestas más ajustadas al peso verdadero del recipiente vacío?

Cualquiera de los métodos basados en el cálculo teniendo en cuenta las pesadas realizadas del recipiente con 1, 2, 3, 4 y 5 vasos de agua. La mejor estimación sería el promedio de los cinco cálculos basados en las pesadas realizadas.

E6.1: Ejemplo de situación-problema consistente en hallar la medida de una cantidad fija a partir de varias medidas aproximadas de la misma.

E6.2: Para facilitar la elaboración de respuestas a esta cuestión (también incluida de modo implícito) la maestra introduce un sistema de representación gráfica que es una variante de histograma de frecuencias que permite visualizar la forma de la distribución de frecuencia, la posición central y la dispersión de las estimaciones hechas por los niños. Esta técnica pone en juego conocimientos tales como:

• representación gráfica de la distribución de frecuencias
• valor central y dispersión.

E6.3: El peso de un objeto es algo definido, pero su medida tomando el gramo como unidad no es exacta y debe expresarse mediante un intervalo (el peso está entre 51 y 52 gramos).

Este conocimiento sobre la medida del peso, que nos parece el más importante del proceso instruccional implementado, está oscurecido por la diversidad de fuentes de error incontroladas que se han introducido en las estimaciones (estimaciones al azar, o basadas en pesadas de objetos que sólo aparentemente son el mismo, pero no lo son efectivamente).

Presentamos a continuación un resumen de los conocimientos puestos en juego en el desarrollo de las dos unidades clasificados según las categorías de entidades propuestas en la teoría de las funciones semióticas.

1. Elementos extensionales (situaciones-problemas, ejemplos)

• Estimación del peso del recipiente con 1, 2, 3, 4, y 5 vasos de agua.
• Estimación del peso del recipiente vacio
• Medida indirecta (mediante el cálculo) del peso del recipiente y los vasos de agua.
• Pesada efectiva de los objetos mediante la balanza Roverbal
• Identificación de las fuentes de error en la medida directa de los pesos con la balanza de platillos.
• Formulación de la medida de una cantidad mediante un promedio y un intervalo.
• Cantidades concretas de peso de los objetos (recipiente, recipiente más 1, 2, 3, 4, y 5 vasos de agua, pesas de 1, 10, 100 gramos) (ejemplos de entidades conceptuales)

• balanza, pesas
• recipiente y vasos de agua
• expresiones lingüísticas ('peso', 'gramo', numerales)
• notaciones algebraicas
• disposiciones tabulares y gráficas (histogramas)

• Operaciones de medida directa de cantidades de peso con la balanza Roverbal
• Realización de cálculos aritméticos
• Estimación mental del peso del recipiente más 1, 2, 3, 4, y 5 vasos de agua (acción interiorizada, no ostensiva).

• Magnitud peso; cantidad de peso; unidades de medida de peso.
• Magnitud continua, discreta;
• La medida como aplicación entre el conjunto de cantidades y los números reales positivos.
• Linealidad de la medida; m(R+k.V) = m(R) + k.m(V)
• El peso de un objeto es determinado, pero su medida directa es aproximada, dándose mediante un valor promedio y un intervalo.
• Si se supone que el agua vertida con cada vaso es la misma se puede calcular de manera indirecta el peso del recipiente vacio mediante un modelo matemático que pone en juego la sustracción y adicción de números naturales.
• La medida directa de cantidades está siempre afectada de errores.
• Tipos de problemas de estimación de cantidades modelizables por la función afín (p= r + kv)
• El cálculo del peso del recipiente es exacto si se suponen que las medidas del recipiente con vasos de agua son exactas; pero nunca sabremos con seguridad que tales medidas directas son exactas.

• El resultado de las pesadas de los objetos se usa como validación empírica de las estimaciones.
• Deducción del peso del recipiente vacío (y de un vaso de agua) por sustitución en la ecuación que expresa la propiedad lineal de la medida:

Si m(R)+ m(V) = a, y m(V) = b, entonces m(R) = a-b.

Si m (R) + m(2V) = c, y m (R) + m(3V) = d, entonces m(V) = d-c.

Este análisis, posiblemente incompleto, muestra no obstante la complejidad de las tareas pedidas ante la diversidad de entidades ostensivas y no ostensivas (físicas y matemáticas) y las correspondencias entre ellas que se ponen en juego en el proceso de medir; en definitiva por la variedad de conocimientos exigidos para entender la tarea y dar una respuesta pertinente. Cabe conjeturar que los niños no han llegado a captar lo esencial de los conocimientos pretendidos.

El análisis que hemos realizado muestra la extraordinaria riqueza de las actividades implementadas y la variedad de los conocimientos puestos en juego. Aparte del hecho experimental que los alumnos han tenido ocasión de constatar -que todo pesa, continente y contenido- la secuencia de actividades proporciona la oportunidad de confrontar los conocimientos matemáticos con la realidad empírica e iniciar el estudio del tratamiento de los errores de medición. Sin duda se trata de una excelente situación-problema para analizar la dialéctica entre los modelos matemáticos y sus modos característicos de razonar (hipotético-deductivo) y las abstracciones empíricas y el razonamiento inductivo propio de las disciplinas experimentales.

Uno de los principales puntos de reflexión que proponemos se refiere a la adecuación de la secuencia instruccional para el nivel educativo en el que se ha implementado (niños de 10-11 años). Los autores concluyen que la mayor parte de los niños han logrado los objetivos pretendidos, pero nosotros nos permitimos conjeturar que el grado de logro de tales objetivos no puede ser elevado dada la complejidad de los conocimientos necesarios para la solución de las tareas. ¿Qué ha pasado con los alumnos que han tenido dificultades? ¿Cuáles han sido tales dificultades?

El análisis a priori de tipo epistémico que proponemos nos va a permitir identificar puntos críticos del proceso de estudio y los elementos claves para la institucionalización de los conocimientos pretendidos. ¿Cuáles fueron las explicaciones de la maestra en la última fase del proceso implementado? ¿Pueden ser las mismas explicaciones para los alumnos que no han seguido efectivamente el proceso de estudio? ¿En qué momentos del proceso de estudio pueden tener lugar las explicaciones de la maestra de manera significativa para los alumnos?

Nos parece que la Teoría de Situaciones se centra de manera prioritaria en lograr que los alumnos realizen una actividad matemática relevante, tratando objetos matemáticos valiosos desde el punto de vista matemático y epistemológico. Este énfasis en el contenido matemático y en el grupo clase nos parece que relega a un segundo plano al sujeto individual, y de modo particular a los sujetos con menos capacidad intelectual.

La mayor parte de los conocimientos puestos en juego son hechos experimentales (que requieren ser constatados, "todo pesa"), convenciones (que deben ser asumidas y recordadas), o destrezas (que exigen un entrenamiento, "pesada con precisión"). Estos conocimientos dificilmente, o de manera costosa, pueden ser descubiertos o reconstruidos. En consecuencia, la técnica pedagógica heurístico-constructiva por la que optan los autores del artículo en el experimento de enseñanza descrito puede ser cuestionada al menos para una parte de los sujetos.

Consideramos que la noción de conocimiento matemático y de sentido de un conocimiento de la TSD debe ser precisada. La TFS propone que cualquier contenido de una función semiótica (par, expresión-contenido) es un conocimiento para el sujeto (individuo o institución) que la establece, y que dicho contenido es el significado (o sentido) que el sujeto atribuye a la expresión. Esta conceptualización del conocimiento y del sentido, unida a la ontología que le asociamos (entidades funcionales de tipo ostensivo, extensivo, actuativo, intensivo, validativo) proporciona una herramienta potente para analizar los procesos cognitivos y semióticos que tienen lugar en el estudio de las matemáticas.

3. COMPLEJIDAD DEL CONCEPTO DE MEDIDA

La segunda parte del artículo, "El peso de un recipiente. Estudio de los problemas de la medición en CM", nos va a permitir hacer una discusión de la noción de concepto en la teoría de situaciones confrontándolo con el constructo "significado institucional y personal" de un objeto matemático que propone la TFS. Comenzaremos haciendo un resumen de esta parte teórica del artículo de G.y N. Brousseau.

En la segunda parte del artículo los autores hacen una reflexión general sobre los problemas que plantea a la didáctica de la matemática la enseñanza de la medida de magnitudes. Comienzan con la descripción de algunas dificultades importantes de esta problemática, derivadas de la complejidad del objeto 'medida' y de la existencia de obstáculos de tipo cultural y epistemológico. Esto les lleva a reconocer que la génesis psicológica de la medida en los niños es un proceso lento que exige numerosas experiencias. Dado que la realización efectiva de medidas en los contextos escolares plantea problemas prácticos de gestión del aula los profesores renuncian a dichas actividades, restringiéndose a actividades de cálculo y a proponer situaciones simplificadas. "Esta circunstancia, aunque tiende a simplificar el acto de enseñanza, no favorece el dominio del concepto de medida ni la representación de las matemáticas como medio eficaz y simplificador para la realización y el control de actividades efectivas" (p. 15).

En la segunda sección de la parte teórica los autores hacen un análisis del "concepto de medida" para el que identifican 8 "objetos". Esta sección es la que vamos a analizar con más detenimiento ya que permite confrontar el uso del término 'concepto' en la teoría de situaciones con el constructo "significado de un objeto". El análisis que hace G.y N. Brousseau nos parece de gran riqueza, constituyendo una caracterización de lo que para ellos significa la expresión "concepto de medida". Ese significado viene a ser un complejo de ocho "objetos" y las relaciones que existen entre ellos. En el "universo de la medida y de la medición" distinguen dos dominios bien diferenciados:

• el ámbito de los objetos concretos, y de las magnitudes, con el entorno de propiedades y de manipulaciones;
• el ámbito de los números y su entorno de cálculos.

Más adelante haremos un análisis más pormenorizado de los objetos descritos por G. y N. Brousseau desde la TFS, pero ya podemos apreciar algunas diferencias importantes con constructos relacionados que se proponen en didáctica, tales como la noción de concepto como tripleta de Vergnaud y la noción de praxeología de la teoría antropológica. En el constructo que describe Vergnaud se incluye también una descripción de las situaciones en las que el objeto se pone en juego y los recursos expresivos (términos, símbolos, etc.) utilizados. Los elementos intensionales (propiedades características de la noción) podrían constituir parte de los objetos descritos por G. y N. Brousseau.

La teoría antropológica nos propone que cuando nos interroguemos por lo que pueda ser el "concepto de medida" debemos pensar en términos de praxeologías, las cuales consideran formadas por dos componentes: la praxis (tareas y técnicas) y logos (tecnologías y teorías). Se centra la atención en los modos de actuar ante ciertas tareas problemáticas o rutinarias y en los discursos o modos de hablar que describen, regulan y justifican las prácticas operatorias.

Los tres constructos descritos (complejo de objetos, tripleta y praxeología) podemos considerarlos como el contenido de la función semiótica que establecemos cuando nos interrogamos por el significado del término 'medida' dentro de cada teoría, o sea, constituyen el significado que atribuyen a dicho término, o bien al "concepto de medida".

En la tercera sección, "compromisos educativos de la enseñanza de la medida", G. y N. Brousseau plantean un problema epistemológico crucial: la relación ente las matemáticas y la realidad, la naturaleza esencialmente distinta de las construcciones matemáticas, pero su inevitable conexión genética e intencional con el mundo perceptible. El campo praxeológico de la medición constituye un lugar priviligiado de encuentro entre las matemáticas y la realidad, precisamente con ocasión del estudio de los errores de medición. Este estudio puede ser una ocasión para ir moldeando las "representaciones epistemológicas" de los escolares hacia las matemáticas. Mediante la identificación y el control de las fuentes de los errores de medición disponemos de un modelo excelente de toda actividad científica, constituyendo "la ocasión de precisar precozmente las relaciones que es necesario establecer entre la contingencia y la necesidad" (p. 18). Este es el principal objetivo pretendido en la parte experimental del trabajo. Los alumnos han tenido ocasión de modelizar matemáticamente el problema de cálculo del peso del recipiente y los vasos de agua, o del recipiente vacio. El modelo es confrontado con la medida contingente, lo que obliga a tomar decisiones: el hecho se rechaza, o se acepta, la teoría se acepta o se modifica.

Concluye el artículo con la aplicación del estudio realizado al análisis de las prácticas docentes habituales, constatando:

• Que no se tiene en cuenta el dominio de los objetos tangibles y las conexiones de las manipulaciones y las operaciones matemáticas. Tales interpretaciones son exigidas por los profesores como evidencias, como aportes intuitivos del alumno, como resultados de su desarrollo o de sus aprendizajes espontáneos.
• El estudio de las relaciones entre el saber y el mundo perceptible, la teoría y la práctica, la verdad y el error no se tratan como objetos de enseñanza ni explícitos ni implicitos.
• Los saberes matemáticos son simplificados, respondiendo a la necesidad de una articulación económica a nivel macrodidáctico, pero en este proceso son privados de su funcionalidad, no siendo siempre buenos puntos de apoyo para los aprendizajes posteriores, tanto si son orientados hacia la práctica o hacia la teoría.

La última observación que hacen G. y N. Brousseau nos parece de un alcance extraordinario y caracteriza su honestidad y sabiduría profesional como investigadores: los profesores no son responsables de estas carencias de las prácticas pedagógicas corrientes sobre la medida, ya que no son libres ni están en condiciones de modificar a su voluntad las condiciones culturales, las significaciones y los funcionamientos de los saberes. Pero tampoco es responsable la didáctica, ya que aún no está en condiciones de determinar lo que es posible hacer a propósito de la medida ni de proponer modificaciones profundas.

G. y N. Brousseau derivan de su análisis del concepto de medida unas consecuencias para la accion educativa consistentes en proponer como objeto de enseñanza el tratamiento de los errores de medida y el uso de ese tratamiento para validar una modelización matemática elemental. No tenemos nada que objetar sobre la importancia matemática y epistemológica de estos contenidos, sobre todo después de haber sido efectivamente implementados como se indica en el artículo. Ahora bien, sí consideramos necesario ser más cautos a la hora de valorar su grado de idoneidad para el nivel primario, así como ser conscientes de la necesidad de proceder a un análisis a priori más detallado de las expectativas y dificultades, y poder prever trayectorias didácticas alternativas para los alumnos menos capacitados. Para este fin la noción de función semiótica y la ontología asociada puede ser un instrumento útil, como hemos tratado de mostrar en la sección 2.

Nuestros autores aplican, así mismo, su análisis a la crítica de las prácticas pedagógicas habituales sobre la medida, aunque sin dejar de reconocer que no estamos en condiciones de proponer cambios radicales, ni de responsabilizar a los docentes de los sesgos y deficiencias de la enseñanza. La crítica se centra particularmente en la escasa o nula atención que se presta a las prácticas efectivas de medición y al tratamiento de los errores de medida antes que el conocimiento de los números decimales obstaculice la apreciación de la naturaleza inevitable de los errores, y de expresar la medida de cantidades continuas mediante intervalos.

Todas estas apreciaciones son pertinentes también desde nuestro modelo teórico. Ahora bien, pensamos que el constructo "significado institucional y personal de un objeto matemático" puede ser una herramienta útil para describir la variedad de significados que de hecho se implementan, o que pueden implementarse, según los contextos institucionales. Tales significados se proponen como objetos cuya caracterización praxeológica se debe investigar, así como la ecología entre distintos significados institucionales. Así mismo, el compromiso educativo sobre la medida en el nivel primario se puede expresar en términos más claros como de acoplamiento progresivo entre los significados personales e institucionales. La noción de "dominio del concepto", "comprensión del concepto" adquieren ahora un carácter parcial y relativo y abarcan componentes tanto actuativos como discursivos. En la siguiente sección aplicaremos este constructo a la medida del peso.

La parte teórica del artículo nos permite identificar algunos puntos de reflexión como ya hemos apuntado en la sección 3.1. Se trata del uso de términos tales como concepto, concepción, representación, comprensión, dominio del concepto, los cuales son precisados en la TFS mediante la noción de "significado del objeto", y relativizadas a los contextos institucionales y circunstancias personales.

A título de ejemplo presentamos a continuación el "significado del concepto" de medida del peso de un objeto elaborado desde la teoría de las funciones semióticas. Dado que no se delimita el marco institucional desde el que se hace el análisis podemos describirlo como "significado enciclopédico". Veremos cómo el complejo de objetos que propone Brousseau se enriquece y adquiere una intencionalidad y estructura.

Se trata de caracterizar las situaciones en las cuales se tiene necesidad de medir cantidades (en este ejemplo de la magnitud peso). Una situación prototípica que motiva la medida del peso puede ser: Si un kilo de trigo vale 100 pts, ¿cuánto valdrá mi cosecha?. Si un gramo de oro vale 5000 pts, ¿cuánto me pagarán por este anillo?

La situación descrita en las experiencias (peso de los vasos de agua y del recipiente vacío) puede resultar ficticia para los alumnos. ¿Para qué necesitamos pesar los vasos de agua? ¿Por qué no pesamos directamente el recipiente vacío? La caracterización de las situaciones prototípicas de medida de pesos ayudará a seleccionar las más apropiadas en cada contexto educativo.

- Objetos materiales soportes de la cualidad que se pide (el peso), unidades de medida, instrumentos de medida (balanzas, resortes, dispositivos electrónicos)

- Objetos lingüísticos /notacionales: 'peso', 'gramo', g, hg, kg, escrituras alfanuméricas para expresar cantidades y medidas, etc.

- La acción de medir efectivamente los pesos requiere el dominio de una técnica que depende de los instrumentos de medida. Las destrezas requeridas para el manejo de la balanza Roverbal son bien distintas de una balanza de resorte o una balanza electrónica.

- Se requiere hacer cálculos aritméticos (sumas y productos del número de unidades por su valor).

- La cualidad designada con el nombre 'peso' atribuible a todos los objetos materiales. "Todo cuerpo pesa", es una abstracción empírica de cierto tipo de experiencias con los objetos materiales.

- Desde el punto de vista matemático se puede describir como un conjunto de objetos homogéneos entre cuyos elementos se puede definir una suma y una ordenación que le dota de la estructura de semimódulo (M, +, £ ).

- Cantidad de peso de un objeto material; todos los objetos que equilibran una balanza se dice que tienen la misma cantidad de peso. Cada uno de los elementos del conjunto M.

- Tipos de magnitudes (discretas, continuas, absolutas, relativas).

- La medida como una clase de acciones reguladas que establece la equivalencia entre una cantidad y una colección de cantidades tomadas como unidades (intensivo empírico).

- La medida como aplicación del conjunto M en un conjunto numérico (intensivo matemático).

- Unidad de medida; cantidad de peso usada como elemento de comparación reiterada.

- Valor de la medida con una unidad particular (número real positivo)

- Medida-concreta (el par, (número, unidad de medida)).

- Invariantes del proceso de medida como función matemática:

- La precisión de la medida empírica. Si la pesa menor de la que disponemos es el gramo y el fiel de la balanza al colocar 51g está a un lado y al poner 52g está al otro lado decimos que el peso está comprendido entre 51 y 52 gramos y que el error que se comete al medir el peso es menor que 1g.

- Sistema métrico decimal (en realidad se trata de otro complejo praxeológico).

- Justificaciones de las técnicas de medida, de la necesidad de un sistema convenido de unidades y de los invariantes matemáticos característicos.

Esta enumeración, sin duda parcial, de entidades heterogéneas pero articuladas se ponen en juego en la práctica de la medida y en la reflexión discursiva sobre dicha práctica. La medida aparece como una secuencia de acciones situadas, reguladas, y mediadas por instrumentos materiales y lingüísticos, de la que emergen objetos intensionales y validativos. En definitiva, el significado que interesa atribuir al "concepto de medida" debemos concebirlo como un sistema de prácticas operativas y discursivas (una praxeología, de acuerdo con la terminología que propone la teoría antropológica), en lugar de una tripleta (Vergnaud, 1990), o como un complejo de objetos (Brousseau).

4. OBSERVACIONES FINALES

Consideramos que la noción de significado de un concepto interpretado como praxeología puede ser asumida dentro de la TSD ya que en gran medida está implícita en sus presupuestos básicos. Podemos encontrar un gran papelelismo entre ambos planteamientos epistemológicos: papel de las situaciones problemas para dar sentido a los conocimientos, y las distintas formas de conocimiento ligadas a las situaciones de acción (elementos actuativos), formulación- comunicación (elementos notacionales), situaciones de validación (elementos validativos) y situaciones de institucionalización (elmentos intensionales). Inclusive la relatividad de los significados entendidos como praxeologías respecto de los contextos institucionales pensamos que puede ser también asumida. "Cada uno de estos "objetos" pertenece a entornos (medios) diferentes, siguen reglas diferentes y serían definibles mediante situaciones diferentes. Son "conocidos" en instituciones diferentes que les han llamado de maneras diversas" (p. 17).

Nos atrevemos a conjeturar, no obstante, que la noción de situación fundamental como secuencia de situaciones-problemas que dan sentido a un concepto matemático se vuelve problemática si adoptamos esta conceptualización del significado del concepto como praxeología. No consideramos pertinente hablar del sentido de un objeto matemático ya que precisamente al interrogarnos por tal sentido nos hemos encontrado con un sistema de prácticas descriptivas, actuativas y discursivas cuyo estudio debe ser abordado articulando de manera nada obvia los distintos elementos. Esto es, no se trata sólo de identificar una secuencia de elementos extensionales, sino de implementar trayectorias didácticas (Godino, 1999a) que tengan en cuentan también los elementos notacionales, actuativos, intensionales y validativos, así como las funciones docentes y discentes. El problema instruccional se complica si tenemos en cuenta que algunos elementos intensionales puede estar constituido a su vez por una praxeología de manera recursiva.

Reconocemos que la TSD no tiene un componente instruccional normativo, esto es, no propone una metodología para la enseñanza de las matemáticas, sino que es más bien, una epistemología experimental. Sin embargo, las experiencias que realiza, como la descrita en el artículo, siguen una trayectoria didáctica de tipo heurístico-constructivista. Esto queda reflejado bien a las claras con el énfasis en las situaciones adidácticas y algunas de las paradojas del contrato didáctico que describe. Ahora bien, desde la TFS, y sobre todo desde la teoría antropológica, esta preferencia nos parece difícil de sostener. La actividad matemática no es sólo enfrentarse a problemas, sino conocer las técnicas y teorías elaboradas por otros colegas matemáticos y tratar de aplicarlas y generalizarlas. En los procesos de instrucción matemática parece que debe existir una dialéctica más compleja que la sugerida por la TSD entre los momentos heurístico-constructivos y los momentos de institucionalización y ejercitación. Si las abstracciones matemáticas (objetos intensivos) se conciben como "reglas sobre cómo usar las expresiones matemáticas", como insiste Wittgenstein (1956) -iniciador de la perspectiva antropológica para las matemáticas-, tales reglas no se descubren, se convienen/pactan, y se pueden comunicar. Si las técnicas (actuativos) son modos de hacer ante ciertas tareas que requieren el uso de instrumentos entonces los sujetos tienen que ser entrenados en el uso de tales instrumentos y en la ejercitación de tales técnicas. En consecuencia, tanto las técnicas didácticas de tipo expositivo-receptivo como las de tipo heurístico-constructivo tienen que ser implentadas y articuladas según los contextos y los sujetos. Consideramos necesario discutir si la teoría del aprendizaje que interesa asumir en la didáctica de las matemáticas debería ser la que se describe en TSD como "por adaptación un medio a-didáctico", o bien "por adaptación a un medio instruccional", en el que la docencia debería asumir un papel más activo, en concordancia con la psicología de Vigotski y Fischbein, más que con la de Piaget.

REFERENCIAS

Brousseau, G. (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathematiques. Recherches en Didactique des Mathématiques, 7 (2): 33-115.

Brousseau, G. y Brousseau, N. (1991). Le poids d'un recipient. Étude des problèmes du mesurage en CM. Gran N, nº 50: 65-87. [Traducción al español recuperable en, http://www.ugr.es/local/jgodino/si-idm.htm].

Cassirer, E. (1944). Antropología filosófica. México: Fondo de Cultura Filosófica, 1992. [Essay of man. New Haven: Yale University Press]

Chevallard, Y. (1992). Concepts fondamentaux de la didactique: Perspective apportées par une approche anthropologique. Recherches en Didactique des Mathématiques, 12 (1): 73-112.

Chevallard, Y., Bosch, M. y Gascón, J. (1997). Estudiar matemáticas, el eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje. Barcelona: ICE Universidad Autónoma y Ed. Horsori.

Godino, J. D. (1999a). Análisis epistémico, semiótico y didáctico de procesos de instrucción matemática. III Simposio de la SEIEM, Valladolid. [Recuperable en http://www.ugr.es/local/jgodino].

Godino, J. D. (1999b). Implicaciones metodológicas de un enfoque semiótico- antropológico para la investigación en didáctica de las matemáticas. III Simposio de la SEIEM, Valladolid. [Recuperable en http://www.ugr.es/local/jgodino].

Godino, J. D. y Batanero, C. (1994). Significado institucional y personal de los objetos matemáticos. Recherches en Didactique des Mathématiques, 14 (3): 325-355.

Godino, J. D. y Batanero, C. (en prensa). Semiotic functions in teaching and learning mathematics. En, M. Anderson,V. Cifarelli, A. Sáenz-Ludlow y A. Vile (Eds.), Semiotics Perspectives in Mathematics Education. (Versión española recuperable en, http://www.ugr.es/local/jgodino).

Morin, E. (1977). El método I. La naturaleza de la naturaleza. Madrid: Cátedra, 1986.

Vergnaud, G. (1990), La théorie des champs conceptuels. Recherches en Didactiques des Mathématiques, 10 (2, 3): 133-170.

Wittgenstein, L. (1956). Observaciones sobre los fundamentos de las matemáticas. Blackwell. [Alianza Editorial, 1978].