En cuanto a la epistemología de las matemáticas, Sierpinska y Lerman presentan las cuestiones sin ningun orden ni concierto:

Aunque los autores hablan de "clasificación" de las cuestiones epistemológicas, en realidad no explicitan ningún tipo de criterio de clasificación ni, mucho menos, de evolución o dependencia relativa entre dichas cuestiones. De hecho las presentan todas al mismo nivel.

Respecto a la epistemología de la educación matemática, se empiezan plantando algunas cuestiones como, por ejemplo:

Pero, en realidad, dichas cuestiones no se llegan a tratar propiamente. En la sección 2. del artículo, que lleva por título "Epistemologías de la educación matemática", se habla de muchas cosas (del conocimiento lógico-matemático, de la epistemología genética de Piaget, del constructivismo radical, del conocimiento matemático considerado como una norma social, de la teoría de la actividad, del interaccionismo, de las epistemologías del significado y hasta de la teoría de situaciones y del enfoque antropológico) pero no se dice (casi) nada de la epistemología de la educación matemática propiamente dicha.

A lo sumo se examinan algunos aspectos de la epistemología de la psicología confundiendo, en mi opinión, la educación matemática con la parte de la psicología que se ocupa del sujeto epistémico y de cómo el sujeto puede llegar a conocer.

Voy a proponer, muy brevemente, una reconstrución racional de la evolución del problema epistemológico (respecto del conocimiento matemático) con un doble objetivo:

(i) Relacionar el problema epistemológico con el problema didáctico (en el artículo se postula cierta contraposición entre los objetos e estudio, las orientaciones y los fines de la "epistemológía" y la "teoría de la instrucción").

(ii) Situar más adecuadamente la posición del enfoque epistemológico en didáctica de las matemáticas (que actualmente engloba a la teoría de las situaciones y a teoría antropológica de lo didáctico), tanto en el ámbito de la epistemología de las matemáticas como en el ámbito de la epistemología de la didáctica de las matemáticas.

El problema epistemológico se plantea inicialmente en los siguientes términos:

En términos generales puede decirse que el euclideanismo postula que todo conocimiento matemático puede obtenerse a partir de un conjunto finito de proposiciones trivialmente verdaderas (axiomas) que constan de términos perfectamente conocidos (términos primitivos). Se trata, según Lakatos (1978) de un Programa de Trivialización del Conocimiento Matemático.

Desde este punto de vista, las tres teorías clásicas de la epistemología de las matemáticas: el logicismo de Russell, el formalismo de Hilbert y el intuicionismo de Brouwer, pueden ser consideradas como tres teorías euclídeas del saber matemático; las tres pretenden detener los regresos infinitos mediante diferentes fomas de trivialización del conocimiento matemático: el logicismo pretende la trivialización lógica de las matemáticas, el formalismo pretende construir una metateoría trivial y el intuicionismo, por fin, pretende recortar el conocimiento matemático hasta alcanzar su médula trivialmente segura. Otro rasgo común a las diferentes perspectivas del Programa Euclídeo es que no utilizan ninguna base empírica porque no consideran que la epistemología de las matemáticas sea una disciplina experimental.

En las instituciones docentes en las que el euclidianismo es el modelo epistemológico predominante, prevalecen los estilos docentes "clásicos": teoricismo y tecnicismo (Gascón, 1994).

El fracaso del Programa Euclídeo llevó a la convicción de que tanto el origen como el método del conocimiento matemático, e incluso la justificación del mismo, deberían fundamentarse -como en el caso de otras ciencias- en la experiencia, aunque sin tomar esta noción en el sentido empirista más elemental, sino en el sentido más sofisticado de "experiencia matemática".

Mientras que para el euclideanismo los únicos falsadores potenciales de una teoría matemática axiomático-formal son los falsadores lógicos (identificándose "verdad" y "consistencia"), para los modelos casi-empíricos toda teoría axiomático-formal es la formalización de una teoría matemática informal y, por tanto, se acepta la posibilidad de que existan falsadores heurísticos.

El modelo cuasi-empírico provoca la destrivialización del conocimiento matemático al enfatizar el papel esencial del proceso de descubrimiento. Se produce en este punto un cambio importante en la forma de plantear el problema epistemológico: mientras que el euclideanismo tenía como único objetivo el estudio de la justificación lógica de las teorías matemáticas, la epistemología cuasi-empírica pretende resolver el problema más amplio y de naturaleza no estrictamente lógica del desarrollo del conocimiento matemático.

Tenemos así una primera reformulación del problema epistemológico que ahora se plantea en los siguientes términos:

La epistemología de las matemáticas empieza a ser considerada como una disciplina experimental y a utilizar los hechos históricos (la historia de las matemáticas) como base empírica.

En las instituciones docentes en las que los modelos epistemológicos cuasi-empíricos son predominantes, prevalecen los estilos docentes que hemos denominado: modernismo y procedimentalismo (Gascón, 1994).

Entre los epistemólogos de la ciencia que comparten un punto de vista cuasi-empírico se produce una gran discrepancia cuando intentan describir los mecanismos que guían el desarrollo del conocimiento científico. Una primera conjetura para explicar esta falta de acuerdo es la insufuiencia de la historia de las ciencias como base empírica de la epistemología. Este es uno de los puntos de partida de la epistemología constructivista de Piaget.

De hecho, la discrepancia es tan profunda que ni siquiera hay acuerdo respecto a la posibilidad o imposibilidad de interpretar racionalmente el desarrollo de la ciencia. No todos los autores que toman la historia de la ciencia como base empírica de la epistemología (Popper, Lakatos, Kuhn, Feyerabend, Hanson, Toulmin, entre otros) encuentran algún tipo de racionalidad en el desarrollo del conocimiento científico. De entre los citados tan sólo Popper y Lakatos distinguen claramente entre ciencia y pseudociencia y se atreven a formular normas metodológicas para establecer la aceptación o el rechazo de una teoría (Popper) o a dar criterios para establecer la superioridad de un Programa de Investigación sobre otro (Lakatos).

Para Piaget y García (1982, p. 243) nunca hasta aquí se trató el verdadero problema epistemológico que, según ellos, debería fomularse como sigue: ¿en qué consiste el paso de una toría T de nivel inferior, a otra teoría T' de nivel superior? Aunque éste es un problema distinto al PE² no deja de ser una nueva reformulación de éste, en clara continuidad con los anteriores. Tenemos así que la reformulación constructivista del problema epistemológico puede formularse mediante:

La tesis central de la epistemología constructivista de Piaget podría formularse como sigue: para abordar elproblema epistemológico es imprescindible y esencial utilizar como base empírica, al lado de la historia dela ciencia, los datos qu proporciona el desarrollo psicogenético. Se postula que los hechos históricos sólo pueden motrarnos la realidad factual el desarrollo científico en cada periodo histórico; para conocer los instrumentos y los mecanismos de dicho desarrollo es preciso recurrir a los datos mpíricos de la psicogénis. Este postulado descansa en la convicción de que los instrumentos y mecanismos que determinan el paso de un periodo de la historia de la ciencia al siguiente son análogos a los que determinan el paso de un estadio psicogenético al siguiente.

En el caso de las matemáticas pueden citarse dos instrumentos esenciales de construcción de los conocimientos matemáticos que aparecen tanto en la historia de las matemáticas como en la psicogénesis de los conocimientos matemáticos (cuya fuente común son los procesos de asimilación y acomodación): la abstracción reflexiva y la generalización completiva.

En las instituciones docentes en las que el constructivismo es el modelo epistemológico predominante, prevalecen los estilos docentes que hemos denominado: costructivismo primitivo y modelización matemática (Gascón, 1994).

Hemos visto como la evolución del problema epistemológico ha ido cambiando la naturaleza he dicho problema: comenzó siendo un problema lógico PE¹, se convirtió después en un problema histórico PE² y ha ido evolucionando hacia un problema psicológico PE³.

Para mostrar en qué punto se produce la confluencia entre el citado problema epistemológico y el problema didáctico, esto es, el problema central de la didáctica de las matemáticas, habría que resumir aquí muy brevemente la evolución de este problema. En otro lugar hemos descrito con detalle la reconstrucción de la evolución del problema didáctico que empieza confundiéndose con el problema de la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas PD¹ y evoluciona paralelamente a las necesarias ampliaciones de su objeto de estudio (Gascón, 1998).

La primera reformulación del problema didáctico se produce con el advenimiento del enfoque cognitivo que lo plantea inicialmnte en los siguientes términos:

Dentro del enfoque cognitivo se producen cambios cualitativos del problema didáctico. El más importante de dichos cambios se pone de manifiesto en la siguiente refomulación del mismo:

El enfoque epistemológico reformula el problema didáctico como sigue:

La diferencia entre la evolución de ambos problemas es la siguiente: mientras que el problema didáctico se ha ido transformando (ampliando su objeto de estudio) hasta alcanzar una cierta "estabilidad" entre la base empírica y el objeto de estudio de la disciplina, el problema epistemológico presenta un grave desequilibrio entre ambos componentes. Incluso si tomamos el problema epistemológico en el sentido restringido que plantea el constructivismo, es fácil mostrar la insuficiencia de los datos psicogenéticos para dar cuenta de la génesis y el desarrollo de los conocimientos matemáticos; son imprescindibles los "hechos" que tienen lugar en las instituciones didácticas. Tenemos aquí una primera causa de la confluencia de ambos problemas o, cuanto menos, de las bases empíricas respectivas.

Los desarrollos de la teoría de la transposición didáctica, al poner de manifiesto que el estudio de los fenómenos relativos a la "génesis y el desarrollo del conocimiento matemático" no puede separarse del estudio de los fenómenos relativos a la "comunicación de los conocimientos matemáticos", refuerzan la confluencia de ambos problemas.

Es importante subrayar que dicha confluencia no sólo trae consigo una ampliación radical de la problemática didáctica (al incluir como objeto de estudio propio las actividades matemáticas institucionlizadas) sino que comporta, paralelamente, una importante ampliación del objeto de estudio de la epistemología de las matemáticas que pasa a ocuparse del estudio de todas las formas de manipulación social del saber matemático: la producción, la enseñanza, la utilización y la transposición institucional (Chevallard, 1990).

Después de la confluencia de ambos problemas, los modelos "epistemológicos" deberán (tener la ambición de) dar cuenta no sólo de la producción, sino también de la enseñanza, la utilización y la transposición institucional del saber matemático.