Con el vocablo «ábaco» han sido designados tres instrumentos de cálculo no muy semejantes. El más antiguo y simple, del que se sirvieron muchas culturas antiguas, y entre ellas la griega, no era más que un tablero espolvoreado con una capa de arena oscura, donde se podían trazar con el dedo o un estilete cifras y figuras geométricas. Se cuenta que Arquímedes estaba ayudándose en sus cálculos con una de estas «pizarras de arena» cuando fue muerto por un soldado romano. La palabra griega abax, que expresa la idea general de tablero liso o mesa sin patas, pudiera proceder de abaq, palabra hebrea que significaba polvo. Un segundo tipo de ábacos, conocido ya desde el siglo cuarto a. C., y que todavía permanecía en uso durante el Renacimiento, era el tablero de recuento. Se trataba de un auténtico utensilio de cálculo, un computador digital tan genuino como la regla de cálculo lo es en lo analógico. El tablero estaba grabado con líneas paralelas que representaban los lugares de valor relativo de un sistema de numeración, por lo común, de base diez. Estas líneas podían estar trazadas sobre pergamino, esculpidas en mármol, vaciadas en madera e incluso bordadas en paño. Desplazando adelante y atrás sobre las líneas cuentas sueltas podían ejecutarse cálculos sencillos. Los griegos llamaban abakion a este tipo de instrumento, y los romanos, abacus. Las cuentas utilizadas eran piedrecitas redondeadas que se iban moviendo por los surcos; la palabra latina calculus, piedrecita, es por ello madre de nuestros «cálculo» y «calcular». Varias figuras, una de ellas sobre un ánfora griega, muestran cómo se usaba la tabla de recuento. Tan sólo una tabla de recuento griega ha llegado a nuestros días: un rectángulo de mármol de unos 12 por 15 centímetros, descubierto en la isla de Salamis. Durante la Edad Media se usaron, en cambio, tableros divididos en escaques. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Abel |
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Alhambra |
El contacto y las relaciones que los árabes establecieron con pueblos y regiones que eran o habían sido centros de grandes culturas, unido a ciertos factores aportados por el propio Islam como la tolerancia respecto de algunos pueblos conquistados y la atmósfera de libre discusión y de libertad de opinión, así como la existencia de numerosas cortes islámicas que protegían y favorecían los estudios científicos, contribuyó a que a finales del siglo VIII el mundo islámico se encontrara en posesión de todos los elementos necesarios para el desarrollo de una gran cultura científica, que alcanzó el máximo esplendor en los siglos IX, X y XI. Como ejemplo podemos señalar los conceptos matemáticos que aparecen en la ornamentación de la Alhambra de Granada. Todos
estamos familiarizados con los motivos ornamentales geométricos usados en la decoración de paredes y techos. Los palacios orientales contienen una gran abundancia de éstos. Nosotros tenemos del mismo modo los mosaicos o teselaciones simétricas del plano euclídeo. Aunque podemos imaginar o incluso crear muchos; si nuestro propósito es conocer el grupo de simetrías de los mosaicos y si queremos conocer el grupo formado por las isometrías planas que los dejan invariantes, las reglas por las que se rigen son bastante restrictivas. Desde este punto de vista E. Fedorov a finales del siglo pasado y por otra parte G. Polya a comienzos del actual probaron que dentro de la teoría de grupos finitos hay exactamente 17 grupos posibles. Cada uno de éstos permite la división del plano en celdas congruentes que, agrupadas y coloreadas convenientemente, dieron lugar a los mosaicos clásicos y sirvieron al holandés M. C. Escher (1898-1972) de inspiración para sus famosos grabados, los cuales son tan interesantes desde el punto de vista artístico como del matemático. Durante
mucho tiempo se creyó que en la ornamentación de la Alhambra de Granada sólo se encontraban 13 de estos grupos. Como señala J. M. Montesinos (1987) no es dificil obtener 16. El mérito del descubrimiento del que faltaba es de J. M. Montesinos y de R. Pérez Gómez, (Pérez Gómez, 1987). Mosaicos de estos tipos aparecen también en muchos otros lugares de la geografía española. Ello nos da idea del conocimiento empírico que los maestros de la ornamentación tenían de las matemáticas. A pesar de que no habían desarrollado la teoría de los grupos finitos, los conocían y los utilizaban. ![]() |
Planteó el problema de la cuadratura del círculo (v.). |
Anaximandro |
Natural de Mileto, compañero o discípulo de Thales (v.), matemático, astrónomo, geógrafo y político, iniciador de la astronomía griega, es el que establece una verdadera cosmología desprovista de elementos míticos. No se pregunta qué son las cosas, sino de dónde proceden. Al igual que Thales, señala el orígen de los seres en el fango o cieno primitivo, de donde salen por la acción de los rayos solares. |
Aparato de Galton |
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Aquiles |
Aristarco de Samos |
Astrónomo griego (s. III a.C.) llegó a proponer el sistema heliocéntrico, donde todos los planetas giraban alrededor del Sol, pero su tratado se ha perdido, y solamente se tienen referencias de él a través de comentarios de Arquímedes. ![]() |
Arquímedes puede ser considerado como el más grande de los matemáticos de la antigüedad. Pasó casi toda su vida en su ciudad natal de Siracusa, aunque se sabe que visitó Egipto al menos en una ocasión. La fama de Arquímedes se basa, fundamentalmente, en sus numerosos descubrimientos matemáticos. Halló, por ejemplo, un valor aproximado de Pi con un error muy pequeño. Calculó volúmenes y áreas, algunos muy difíciles, entre ellos el volumen de la esfera. Demostró el siguiente resultado fundamental del que se sentía particularmente orgulloso: «Los volúmenes de un cono, de una semiesfera y de un cilindro, todos de la misma altura y radio, se encuentran en la razón 1:2:3». Considerado este teorema con la perspectiva que nos da la Historia, era verdaderamente un resultado excepcional para la época. La pureza de su matemática en las obras De la esfera y del cilindro, De los conoídes y esferoides, De las espirales y la originalidad de sus nuevas ideas (método de exhausción, cuadratura del segmento de parábola), en las que se puede ver el germen del cálculo infinitesimal de Newton y Leibniz, se unen y se complementan armoniosamente con sus trabajos sobre estática e hidrodinámica, poniendo de manifiesto cómo las dos matemáticas (la pura y la aplicada) se complementan mutuamente, de manera que cada una actúa como estímulo y ayuda para la otra, y forman en conjunto una única y bien definida línea de pensamiento. Arquímedes
fue además un genio de la mecánica. Entre sus inventos más célebres se encuentra el tornillo de Arquímedes, utilizado en muchos países, entre ellos, España, para extraer agua de los pozos. Construyó también planetarios que, pese a la lejanía en el tiempo, eran tan populares como lo son en la actualidad. Sin
embargo, no fueron sólo los inventos «pacíficos» los que dieron a Arquímedes su gran fama en la antigüedad, sino también su contribución a la defensa de Siracusa contra los romanos. Este septuagenario matemático había dotado al ejercito de dicha ciudad de armas muy modernas, las cuales causaron el desconcierto total entre los soldados romanos. Los historiadores de la época no describen los espejos ustorios, pero sí lo hacen los posteriores. Fueron mencionados por primera vez por Galeno (129-199). Si realmente existieron, debió tratarse de alguna especie de espejo parabólico. Según cuenta la leyenda, durante el asedio de la tropas romanas a Siracusa (213-212 aC) fueron capaces de concentrar los rayos de sol en una zona muy reducida y de esta forma, dirigidos hacia la armada romana, provocaron el incendio de las naves. Arquímedes los situó de forma que los rayos del sol llegaran paralelos al eje y que, una vez concentrados, apuntaran a las velas de los barcos enemigos. Muy pronto los romanos vieron, atónitos, cómo las velas de sus barcos ardían como por arte de magia. El ejercito de Siracusa fue así capaz de destruir la armada de los invasores. Se
sabe que es matemáticamente posible la construcción de tales artefactos (v. Parábola). Experimentalmente, se ha demostrado que la leyenda es creíble, como probó en 1747 un naturalista francés, el conde de Buffon. Sin embargo, Siracusa cayó en manos romanas a causa de una traición y Arquímedes fue asesinado. Marcelo, a modo de desagravio, mandó erigir para Arquímedes una tumba sobre la cual se veía una esfera circunscrita por un cilindro que simbolizaba, de acuerdo con sus deseos, su teorema favorito sobre los volúmenes del cono, el cilindro y la esfera. Cuando Cicerón visitó Sicilia pudo ver todavía el monumento que se ha perdido para la historia. Aunque
no de una manera explícita, Arquímedes sí ha contribuido a la aplicación de las matemáticas. En efecto, en el Equilíbrio, trataba el problema de la palanca, que, junto a la cuña, el plano inclinado, el rodillo y la polea, componía la colección de las sencillas máquinas utilizadas en la antigüedad para construcciones tan asombrosas como las pirámides de Egipto, los templos griegos y los acueductos romanos. Se sirvió libremente de la noción de baricentro o centro de gravedad de un cuerpo como si la conociese y le fuese familiar. Casi veinte siglos más tarde, S. Stevin y Galileo Galilei construyen la teoría de la estática; esto es, una teoría del equilibrio para complicados sistemas mecánicos.
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Áurea, Razón |
Pitágoras y sus seguidores formaban una una especie de escuela o comunidad. Para ellos, el número cinco tenía un atractivo especial: su símbolo era una estrella de cinco puntas y les interesaba especialmente la figura del pentágono. En el pentágono hallaron el número Las
llamadas proporciones áureas, 1: Un rectángulo con las proporciones perfectas tiene la particularidad de que si se quita un cuadrado de 1×1, la parte restante vuelve a tener las proporciones perfectas. Los
constructores del Partenón de Atenas (y los de muchos otros templos y edificios) tuvieron muy en cuenta la proporción áurea. La relación entre la altura y la anchura de su fachada es precisamente |