Taller de Análisis Geométrico 2009
Se celebrará en el aula B-13 de la Facultad de Matemáticas de la Universidad
Complutense de Madrid, los días 24 y 25 de septiembre de 2009.
Objetivo: Facilitar el intercambio de ideas y la puesta al día de
resultados recientes obtenidos entre jóvenes investigadores en el
campo del Análisis Geométrico. La convocatoria está abierta a los
miembros de la Red de Análisis Geométrico, así como a personas
externas a la red que estén trabajando en temas relacionados. Se ruega
hacer llegar esta información a quienes pudieran estar interesados.
Dirección de contacto: magdalena (arroba) mat.ucm.es
Inscripción
Si quieres asistir a este encuentro, escribe un e-mail a la dirección
magdalena (arroba) mat.ucm.es con los siguientes datos:
- Nombre y apellidos:
- Afiliación:
- Puesto:
- ¿Quieres alojarte en el colegio mayor AQUINAS?
- ¿Quieres comer en el colegio mayor AQUINAS?
- Fecha de llegada:
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Cómo llegar
Dirección: Facultad de CC. Matemáticas
Plaza de las Ciencias, 3 - 28040 Madrid
AULA B-13 (planta baja)
Metros más cercanos: Ciudad Universitaria y Metropolitano, línea 6.
Programa
JUEVES 24 DE SEPTIEMBRE
[10:00] César Rosales, ¿Para qué sirve una desigualdad isoperimétrica?
Es más o menos conocido que el problema isoperimétrico
trata cuestiones de geometría global en las que interactúan
fructíferamente la geometría riemanniana, la topología, el
análisis y el cálculo de variaciones. Menos conocido es el
hecho de que el problema isoperimétrico es "agradecido", en
el sentido de que tiene aplicaciones directas sobre las
disciplinas anteriores. En esta charla, mostraremos como a
partir de una desigualdad isoperimétrica se pueden obtener e
incluso mejorar resultados de comparación conocidos de naturaleza
geométrica y analítica. Terminaremos con una curiosa aplicación
de la desigualdad isoperimétrica para calcular las curvas más
cortas dentro de ciertas variedades sub-Riemannianas.
[11:15] Gil Solanes, Geometría integral en espacios hermíticos
La geometría integral se originó con la fórmula de Cauchy-Crofton:
la medida invariante del conjunto de rectas afines que cortan un convexo del
plano es igual al perímetro de éste. Este resultado se extendió con facilidad
a dimensiones superiores y a espacios de curvatura constante. Las
generalizaciones a espacios homogéneos existen a priori pero sólo
recientemente se han empezado a obtener explícitamente. El primer caso no
trivial es el de las variedades complejas de curvatura holomorfa constante.
El objetivo de la charla es comentar este caso, pero sólo después de recordar
los resultados clásicos.
[12:15] CAFÉ
[12:45] Juan Ángel Aledo, Superficies maximales afines con singularidades
En esta charla estudiamos superficies maximales afines con cierto tipo
de singularidades. Presentaremos algunas nociones y resultados
fundamentales sobre esta teoría, y también comentaremos algunos
problemas que están abiertos hasta la fecha.
[14:00] COMIDA
[16:00] Pablo Mira, Esferas de curvatura media constante en Sol3
Es bien conocido que las esferas redondas son las únicas esferas
topológicas de curvatura media constante (CMC) en ℝ3. En
esta charla analizaremos la extensión de este resultado fundamental al
espacio 3-dimensional homogéneo Sol3. Dicho espacio es la
3-variedad riemanniana más simétrica posible que no admite rotaciones,
lo cual hace que sea difícil incluso asegurar la existencia de esferas
de CMC. Es, además, la única geometría 3-dimensional de Thurston
donde el problema permanece abierto.
Nuestro objetivo en esta charla será explicar la geometría básica de
superficies de CMC en Sol3, y mostrar la existencia y
unicidad de una familia de esferas topológicas embebidas de CMC en
Sol3 para valores de la curvatura media mayores que
1/√3.
[17:15] Antonio Alarcón, Una aplicación armónica propia de ⅅ en ℂ
Picard demostró que toda función analítica de ℂ en ℂ que omita dos
puntos debe ser constante. Esto se sigue del hecho de que no hay
aplicaciones holomorfas no constantes de ℂ en ⅅ. En general, es
natural preguntarse si ℂ y ⅅ son equivalentes por difeomorfismos
armónicos. Heinz demostró que no hay difeomorfismos armónicos de ⅅ a
ℂ con las métricas llanas; esto fue un paso clave en su demostración
del Teorema de Bernstein para superficies minimales en
ℝ3. Por otro lado, Collin y Rosenberg construyeron
difeomorfismos armónicos de ℂ al disco hiperbólico.
En relación con estos resultados Schoen y Yau propusieron la siguiente
conjetura: No hay aplicaciones armónicas propias de ⅅ en ℂ con
las métricas llanas. En este trabajo damos un contrajemplo de dicha
conjetura.
VIERNES 25 DE SEPTIEMBRE
[11:30] Esther Cabezas, Tendiendo puentes entre el Flujo de Ricci y el Transporte Óptimo
Describimos cómo la teoría del Transporte Óptimo puede generar nuevos
resultados en el campo del Flujo de Ricci, independientes de dicha
teoría. En concreto, dado un Flujo de Ricci sobre una variedad M
durante un intervalo de tiempo I, introducimos un segundo parámetro
temporal y definimos solitones de Ricci gradiente en el espacio-tiempo
M × I. Se explicará la manera en que parte de la teoría
existente del Flujo de Ricci se puede codificar con nuestros solitones
y se enfatizará la relación entre esta construcción geométrica y el
transporte óptimo.
[12:45] María Calle, Anchura y flujos geométricos de hipersuperficies
Es habitual utilizar la técnica de minimax en familias uniparametricas
de curvas en una hipersuperficie para encontrar geodésicas cerradas en
la hipersuperficie. T. Colding y W. Minicozzi utilizan esta técnica, y
en particular el concepto de "anchura" de una hipersuperficie, para
dar una cota en el tiempo de extinción del flujo de curvatura media de
una hipersuperficie convexa. En esta charla, generalizamos esta
técnica a una clase más amplia de flujos geométricos, definida por
B. Andrews, en los que la velocidad en cada punto es función de las
curvaturas principales. Este resultado es trabajo conjunto con Steve
Kleene y Joel Kramer.
[14:00] COMIDA
[16:00] Pablo Angulo, Una caracterización del lugar singular de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi
Las soluciones de viscosidad de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi
admiten una interpretación geométrica como la función distancia a la
frontera en una variedad de Finsler. En esta interpretación, el lugar
singular de las soluciones es el cut locus de la frontera. Recopilamos
resultados sobre el lugar singular usando los dos puntos de vista. A
continuación, estudiamos el lugar singular clasificando en distintas
categorías todos sus puntos, excepto un conjunto de codimensión de
Haussdorff 3. Finalmente, nos preguntamos si es posible caracterizar
el lugar singular por dos propiedades del lugar singular, que
expresamos diciendo que el lugar singular es un "split locus", y que
es "balanced".
[17:15] María Pe, Sobre el problema de Nash para superficies
En esta charla enunciaremos el Problema de Nash para arcos en
superficies con singularidades aisladas y explicaremos los últimos
avances realizados. Dicho problema conjetura una biyección entre las
componentes irreducibles del espacio de gérmenes de arcos que pasan
por el punto singular y los divisores o hipersuperficies irreducibles
de una resolución minimal de la singularidad.
Alojamiento y comidas
Tanto el alojamiento como las comidas están previstos en el Colegio Mayor Santo Tomás de Aquino
(AQUINAS).
Reservar con la mayor antelación
posible escribiendo a magdalena (arroba) mat.ucm.es.
