Ejercicios 04.

Trabajamos con polinomios con coeficientes en el cuerpo $\mathbb{Q}$.

Ejercicio A.

1. Se consideran los polinomios
   $F_1=X^3 Y^2 + X^3 Y^3 - X^2 Y + 2 X - 1$,
   $F_2=X^2 Y^2 + 2 X Y^2 + X - Y + 2$,
   $G=X^3 Y^4 + X^2 Y + 2 X^2 - 3$.
   Divide $G$ por $\{F_1,F_2\}$ y por $\{F_2,F_1\}$, con el orden lexicográfico para el orden de variables $X>{Y}$.
2. Se consideran los polinomios
   $F_1=X^2 Y^2 Z + X^2 Y^2 Z^2 + 1$,
   $F_2=X^2 Z + Z^3$,
   $G=X^3 Y^4 Z^2 + X^2 Y^2 Z^2$.
   Divide $G$ por $\{F_1,F_2\}$, con el orden lexicográfico para el orden de variables $X>{Y}>{Z}$, y para el orden variables $Z>{Y}>{X}$.

Observa que se obtienen resultados diferentes y, por lo tanto, que al hacer la división importa el orden.

Ejercicio B.

Escribe un polinomio $F$ tal que, al ordenar sus términos con respecto al orden

1. lexicográfico,
2. lexicográfico inverso,
3. graduado lexicográfico, y
4. graduado lexicográfico inverso,

se obtengan expresiones diferentes.

Ejercicio C.

Estudia las siguientes afirmaciones, cuando consideramos el orden de las variables $X>{Y}$ y el polinomio $F=X^2-2XY+Y^2=(X-Y)^2$.

• Para cualquier polinomio $G$ el grado del resto de la división de $G$ por $F$ es un polinomio de grado total menor o igual que 2.
• Con el orden lexicográfico el resto de la división de $G=X^4-4X^3Y+6X^2Y^2-4XY^3+Y^4+Y+1$ por $F$ es $Y+1$.
• Con el orden lexicográfico el resto de la división de $G=X^2-2XY$ por $F$ es $-Y^2$.
• Con el orden lexicográfico, para cualquier polinomio $G$ el resto de la división de $G$ por $F$ se calcula sustituyendo $X$ por $Y$.
• Con el orden lexicográfico, para cualquier polinomio $G$ el resto de la división de $G$ por $F$ coincide con el resto de la división de $G$ por $X-Y$.
• Con el orden lexicográfico, para cualquier polinomio $G$ el resto de la división de $G$ por $F$ es de la forma $XG_1+G_0$, siendo $G_1,G_0\in\mathbb{Q}[Y]$.