Práctica 8

Límite, continuidad y derivabilidad

Límite de una función

Definamos la siguiente función:

f[x_] := (1/(1 - (x^2)))

Está definida en todo ℝ excepto x = ±1.

Mathematica dispone de una orden para calcular el límite de una función en un punto, y los correspondientes límites laterales.
La primera es
			Limit[función, variable->punto]

En nuestro caso, el límite cuando x tiende a 2, por ejemplo, se tdeermina como sigue:

Limit[f[x], x ->  2]

La existencia de este límite garantiza la existencia de los límites laterales correspondientes, que coinciden con el valor del límite. En la orden Limit puede utilizarse la opción Direction->1 para hallar el límite por la izquierda y  Direction->-1 para el límite por la derecha.

Limit[f[x], x -> 2, Direction -> 1]

Limit[f[x], x -> 2, Direction -> -1]

Podemos trabajar en el punto x = 1.

Limit[f[x], x -> 1]

Observemos la salida obtenida.

Podemos calcular los límites laterales.

Limit[f[x], x -> 1, Direction -> 1]

Limit[f[x], x -> 1, Direction -> -1]

Representemos la gráfica de la función en un entorno alrededor del punto x = 1.

Plot[f[x], {x, 0.9, 1.1}, PlotRange -> {-100, 100}];

Observemos que el límite por la izquierda es ∞ y -∞ por la derecha. En sentido estricto, no debería asignarse ningún signo al infinito en el punto 1, aunque Mathematica lo asigna.

En x = -1 podemos actuar de igual modo.

Limit[f[x], x -> -1]

Limit[f[x], x -> -1, Direction -> 1]

Limit[f[x], x -> -1, Direction -> -1]

Plot[f[x], {x, -1.1, -0.9}, PlotRange -> {-100, 100}];

El límite por la izquierda en x = -1 es -∞ y ∞ por la derecha.

La misma orden puede emplearse para calcular el límite en ∞ (o en -∞)

Limit[f[x], x -> ∞]

Limit[f[x], x -> -∞]

La gráfica de la función que estamos considerando es asintótica a la recta de ecuación x = 0 en  ±∞.

Ilustramos la situación representando gráficamente la función en un intervalo centrado en el origen.

Plot[f[x], {x, -2, 2}];

Definamos una nueva función.

g[x_] := 
      Which[-π ≤ x ≤ 0, Sin[x], 
        0 < x ≤ π, 1 - x, True, ((((x/2)))^2)]

Los únicos puntos en los que hay que determinar la existencia de límite son -π , 0,  y π.

Usemos la orden Limit.

Limit[g[x], x -> -π,  Direction -> 1]

No obtenemos ningún resultado. La orden Limit no se puede usar con funciones definidas con la orden Which. Para trabajar podemos definir cuatro funciones diferentes a partir de las diferentes expresiones que intervienen en la definición de g, asociadas a la partición \(TraditionalForm
      \`\((\(-∞\), \(-π\))\) ⋃ \([\(-π\), 0]\) 
        ⋃ \((0, π]\) ⋃ \((π, \(+∞\))\)\).

g1[x_] := ((((x/2)))^2)g2[x_] := Sin[x]g3[x_] := 1 - xg4[x_] := ((((x/2)))^2)

Limit[g1[x], x -> -π, Direction -> 1]

-Limit[g2[x], x -> -π, Direction -> 1]

Los límites laterales en x = -π existen pero son diferentes, luego no hay límite en x = -π.

Limit[g2[x], x -> 0, Direction -> 1]Limit[g3[x], x -> 0, Direction -> -1]

Lo mismo sucede en x = 0.

Limit[g3[x], x -> π, Direction -> 1]Limit[g4[x], x -> π, Direction -> -1]

Y en x = π tampoco hay límite, aunque existen los límites larterales.

Podemos ilustrar gráficamente la situación representando por separado estas cuatro funciones y representándolas conjuntamente.

\(graf1 = 
      Plot[g1[x], {x, \(-2\) π, \(-π\)}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0]}, DisplayFunction -> Identity]; 

    graf2 = Plot[g2[x], {x, \(-π\), 0}, PlotStyle -> {RGBColor[0, 1, 0]}, 
        DisplayFunction -> Identity]; 

    graf3 = Plot[g3[x], {x, 0, π}, PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 1]}, 
        DisplayFunction -> Identity]; 

    graf4 = Plot[g4[x], {x, π, 2  π}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0]}, DisplayFunction -> Identity]; 

    Show[{graf1, graf2, graf3, graf4}, DisplayFunction -> $DisplayFunction]; 
    \)

Podríamos haber representado graficamente la función g.

Plot[g[x], {x, -2 π, 2  π}];

La diferencia estriba en que la orden de representación gráfica produce segmentos verticales en la gráfica de la función (que no pertenecen en realidad a la gráfica de la función).

Plot[g[x], {x, -2 π, 2  π}, Axes -> None];

Continuidad de una función

Estudiemos la continuidad de la función

		f(x) = ((x + a)/(1 + Exp[1/x])) si x < 0f(0) = 1f(x) = (Sqrt[b + (x^2)])     si x > 0

donde a ϵℝ y b > 0.

Es claro que sólo es necesario estudiar la continuidad en x = 0. Además, la función f será continua si y sólo si está definida en 0, existe límite en 0 y dicho límite coincide conf(0).

La función está definida en 0, y su valor es igual a 1.

Comenzamos definiendo la función de modo que su límite pueda ser calculado con Mathematica.

f1[x_] := ((x + a)/(1 + Exp[(1/x)]))f2[x_] := (Sqrt[b + (x^2)])

Como

Limit[f1[x], x -> 0, Direction -> 1]

y

Limit[f2[x], x -> 0, Direction -> -1]

se tiene que los límites laterales existen, y coincidirán si y sólo si a = (Sqrt[b]).   En este caso, la función tiene límite si y sólo si a = (Sqrt[b]).

La función será continua si y sólo si a = (Sqrt[b]) = f(0) = 1.

En definitiva, la función es continua si y sólo si a = b = 1.

Representemos la función cuando se cumple esta condición.

f[x_] := 
      Which[x ≤ 0, ((x + 1)/(1 + Exp[(1/x)])), x > 0, 
        (Sqrt[1 + (x^2)])]

Plot[f[x], {x, -4, 2}];

Derivabilidad de una función

Una función es derivable en x = a si existe

		\(TraditionalForm
      \`lim\+\(x -> a\)\(f(x) - f(a)\)\/\(x - a\) = 
        lim\+\(h -> 0\)\(f(a + h) - f(a)\)\/h\),
		
en cuyo caso el límite se llama derivada de f en  a,  y se nota f' (a).

Utilicemos la definición para estudiar la derivabilidad de las funciones f(x) = (Sqrt[x]) y g(x) = (x^x).

f[x_] := (Sqrt[x])

Limit[((f[x] - f[a])/(x - a)), x -> a]

La función f(x) es derivable en a.

g[x_] := (x^x)

Limit[((g[x] - g[a])/(x - a)), x -> a]

Obsérvese que  g(x) es derivable en a > 0.

Mathematica puede calcular la derivada formal de una función. Si es f[x], la derivada se calcula con la orden f'[x] o D[f[x],x]. En los casos anteriores,

f'[x]

g'[x]

En este último caso, es necesario simplificar:

Simplify[%]

Consideremos la función definida por

		\(TraditionalForm
      \`h(x) = c\^2\ x\^2 + x + a\ e\^x\ \ \ si\ x ≤ 0\)\(TraditionalForm
      \`h(x) = x\^3 + a\ x\^2 + c\ e\^\(-x\)\ si\ \ x > 0\)

Para que sea derivable es necesario que sea continua.

h1[x_] := (c^2) (x^2) + x + a Exp[x]h2[x_] := (x^3) + a (x^2) + c Exp[-x]

Como

Limit[h1[x], x -> 0, Direction -> 1]

y

Limit[h2[x], x -> 0, Direction -> -1]

para que haya límite debemos imponer la igualdad:

Se tiene automáticamente la continuidad.

Limit[((h1[x] - h1[0])/(x - 0)), x -> 0, Direction -> 1]

Limit[((h2[x] - h2[0])/(x - 0)), x -> 0, Direction -> -1]

La función será derivable si y sólo si se cumple que a = c y 1 + a = -c. La solución de este sistema es a = c = -(1/2).

Para estos valores, podemos representar la función. Por ejemplo, utilizamos la orden Which para definirla.

a = c = -(1/2);

h[x_] := 
      Which[x ≤ 0, (c^2) (x^2) + x + a Exp[x], x > 0, 
        (x^3) + a (x^2) + c Exp[-x]]

Plot[h[x], {x, -6, 2}];

La orden Which no permite trabajar con Limit, pero sí con la derivada (una vez probado que la función es derivable). En el caso anterior, es muy simple representar la derivada de la función h.

Plot[h'[x], {x, -6, 2}];

También se puede "preguntar" por la derivada en un punto.

h'[0]

Ejercicios

1.- Calcule los límites de las funciones definidas por las siguientes expresiones, en los valores que se indican:
      a)  (x^2-4) / (x-2),  x->2,
      b)  ((t+h)^2-t^2) / h,  h->0,

2.- Calcule  y simplifique las derivadas de las siguientes funciones:
    i)    f(x) = Ln((x^2+x+1)^(1/2) - 1/Sqrt[3]) arctg((2x+1) / Sqrt[3])
    ii)  f(x) = ((cos x)^x)^tg x