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Resolución numérica de problemas de ecuaciones en derivadas parciales.

Introducción al método de diferencias finitas en varias variables

Redes y funciones sobre redes

Se puede dividir el intervalo cerrado en $n\;$ partes iguales, a partir de una \underlinered uniforme con paso y nodos $\ \$ MATH Si dividimos $\overline{I}\;$ en $n\;$ partes desiguales, entonces tendremos una \underlinered no uniforme, con paso variable .

Sobre estas redes consideraremos funciones discretas, que denominaremos funciones de red, y que toman valores sobre los nodos de la red. Si tenemos definida una función sobre el intervalo , podemos considerar dos tipos de \underlinefunciones de red

utilizando sólo información puntual, con $\QTR{Bbb}{\;\;}$
o bien, como una media de los valores de $f\;$ alrededor del nodo, y utilizar así más información de la función $\,f$
- para los nodos interiores (también llamados regulares, ver más adelante), se definiría como sigue $\quad\;\;\;$
- y para los nodos frontera,

Si ahora tenemos un rectángulo considerando sendas redes uniformes $\omega_{i}\;$ en ; podemos tomar el producto cartesiano: MATH En cuanto a la notación, lo más habitual en los casos de dimensión dos o tres es emplear las variables usuales: con ( $i\equiv k_{1}$ y $j\equiv k_{2}$ ) y ( $i\equiv k_{1},$ $j\equiv k_{2}$ y $k\equiv k_{3}$ ) por ejemplo.

En general, si tomamos MATH y diremos que la red $\omega\;$ es uniforme, si lo son cada una de las

Consideraremos aquí también funciones de red, que serán funciones discretas que toman valores sobre los nodos de la red. Por ejemplo, si está definida en el cierre del dominio acotado podemos definir las siguientes funciones de red :

donde .

Distinguiremos a su vez dos tipos de puntos en , diremos que un nodo es ``\underlineregular'' o perteneciente a la ``parte interior discretizada'' del dominio (que notaremos por ) si todos los nodos vecinos están también en e ``\underlineirregular'' o perteneciente a la ``parte de la frontera virtual discreta'' del dominio (simbolizada por ) en caso contrario. Más adelante particularizaremos esto en el caso de dominios del plano curvilíneos con una geometría arbitraria.

Si consideramos redes uniformes de paso también podemos tomar para cada nodo una función de red que tenga en cuenta los valores de la función $f\;$ alrededor de dicho nodo, mediante la correspondiente media (sólo para los nodos interiores regulares) MATH

MATH

Aproximación de operadores diferenciales

Dada una función ``de variable continua'' queremos definir funciones de red para sus derivadas. En el caso de una variable sea y una red uniforme de paso , .

Para sea el operador derivada primera; los siguientes operadores discretos: y servirán para aproximar $\;L$ (donde ,

(diferencia izquierda)

(diferencia derecha)

(diferencia central)

y notaremos si no hace falta referirse al nodo.

Se comprueba que si $h\rightarrow0,$ efectivamente hay convergencia de estos ope-ra-do-res discretos $\;L_{h}^{-},$ en el sentido de que MATH Basta con desarrollar por Taylor: MATH $\;$ luego

\underlineEjercicio.- Hacer una demostración análoga para $u_{x^{-},i}$ y $u_{x,i}^{\circ}$ .

Para la derivada segunda, podemos considerar: MATH

siendo ahora

\underlineEjercicio.- Obtener de forma análoga las correspondientes aproximaciones y ; comprobar así mismo el orden de aproximación de cada una de ellas.

Si consideramos ahora una función de dos variables $u(x_{1},x_{2})\;$ definida en , entonces aproximamos : MATH (donde $u_{i,j}$ denota ) y de igual modo MATH

Por ejemplo, el operador Laplaciano se aproximará de la siguiente forma, si tomamos incrementos iguales en ambas variables MATH

que se trata de una fórmula de 5 puntos en cruz. Y si tenemos que resolver la ecuación de Laplace se tendría, igualando a cero la expresión anterior y despejando: MATH

que sería una versión ``discreta'' del teorema de la media para funciones armónicas.

Por la fórmula de Taylor, se sigue que si entonces el error será de orden 2, como se puede ver más en detalle: MATH

Ejemplo de planteamiento de un problema en diferencias en el caso de una variable

Tomaremos una red uniforme en $\,[0,1]\,$ de paso $h=\dfrac{1}{n}$ :

MATH

y definimos la siguiente ``función de red'': $\$ MATH

Buscamos entonces otra función de red de manera que

MATH

Obtenemos pues un sistema lineal de $\,n-1$ ecuaciones con $\,n-1$ incógnitas , de la forma donde:

MATH

Se puede demostrar que este problema aproximado tiene solución única para cada y que si $h\rightarrow0$ la correspondiente solución $u_{h}$ converje hacia la solución exacta en un sentido adecuado.

Métodos en diferencias finitas para la resolución de ecuaciones elípticas en el plano

Ecuación de Poisson en el Rectángulo.

Consideramos ahora un dominio rectangular , en el cual queremos resolver de forma aproximada el siguiente problema de Dirichlet para la ecuación de Poisson :

MATH

con funciones ; .

Para ello, utilizaremos una red producto de redes $\omega_{1}\;$ y $\;\omega_{2}\;$ en $\;I_{1}$ e $I_{2}$ respectivamente.

llamaremos al conjunto de los nodos frontera, y aproximaremos y por funciones de red

con $i=0,n\;\,$ o

Tendremos entonces el siguiente esquema en diferencias:

MATH

donde recordamos que

Y si por ejemplo tenemos entonces

Se puede probar que este método de diferencias finitas aplicado a la ecuación de Poisson con condiciones de Dirichlet, es un problema numérico bien planteado: es decir:

, el correspondiente sistema lineal tiene solución única, luego solución aproximada para cada
hay convergencia hacia la solución exacta en el siguiente sentido: si la solución , entonces se cumple que: $\$

para cierta constante fija que no depende de de manera que si entonces el error cometido tiende hacia y en el espacio .

Caso genérico de frontera curvilínea

Sea un dominio (acotado) y consideramos planteado el siguiente problema de Dirichlet.

MATH

Si no conocemos detalladamente alguna de las características de la geometría de $\Omega,$ que puede tener una frontera curvilínea, procederemos mediante un método bastante general y muy simple.

Como $\Omega$ está acotado, podremos encontrar intervalos , de modo que (son acotados) y

Consideraremos purs ``redes'' uniformes $\,\omega_{i}\,$ en cada uno de estos intervalos:

y notaremos por la correspondiente red de puntos de la malla que están en

A su vez, distinguiremos dos tipos de puntos en , diremos que un nodo $(x_{k},y_{l})\;$ es regular si los cuatro nodos vecinos están también en e irregular en caso contrario.

Sea :

es nodo regular $\}$

es nodo irregular $\}$

En el caso de la ecuación de Laplace ( $f\equiv0$ ) y si los pasos en ambas variables coinciden ( $\Delta x=\Delta y$ ) podremos entonces aproximar la solución en mediante un esquema numérico de tipo cruz: MATH y para los puntos situados en la frontera numérica del dominio siendo el pto. de $\partial\Omega\;$ " más próximo" (en las direcciones de los ejes por ejemplo) a $(x_{k},y_{l})$ .

Resolución de problemas transitorios

A la hora de resolver numéricamente problemas relacionados con las ecuaciones del calor, de ondas o cualquier otro tipo de problema evolutivo (que dependa del tiempo ), el método de diferencias finitas visto anteriormente se aplica de forma inmediata sin más que considerar las correspondientes aproximaciones de las derivadas temporales, ya sean de primer o segundo orden.

En estos casos, si estamos especialmente interesados en la aproximación numérica de la solución a lo largo del intervalo de tiempo , deberemos considerar la correspondiente partición de este intervalo en el eje temporal, de la forma:

MATH aunque la mayoría de las veces conviene considerar estas particiones de manera que sean uniformes en el siguiente sentido

MATH y se suele notar a las aproximaciones .

Se dirá que estamos considerando un método \underline explícito si podemos ir despejando los valores de $u_{j}^{k+1}$ a partir de los valores conocidos o calculados de la etapa anterior $u_{j}^{k}$ e \underlineimplícito en caso de que esto no pueda ser así, y sea necesario resolver un sistema de ecuaciones en cada iteración de tiempo, porque nuestro esquema involucre al mismo tiempo varias instancias de $u_{j}^{k+1}$ para diferentes valores del índice al mismo tiempo.

Resolución de problemas parabólicos

Consideremos el siguiente problema mixto para la ecuación del calor MATH y una red en con pasos $\Delta t\quad$ en tiempo y $\Delta x$ en espacio; es decir

MATH representará el valor exacto de la solución del problema en el nodo $(j,k)\;$ (suponemos que dicha solución existe) y denotaremos por a la función de red que la aproxima.

En el instante $t=0\;$ podemos definir o si el dato $u_{0}$ no fuese muy regular podría ser conveniente aproximar utilizando ciertos promedios:

Si suponemos ahora conocida la solución aproximada en el instante $t_{k}\;$ y vamos a calcularla en $t_{k+1}$ utilizando datos de contorno: MATH y para calcular discretizamos la ecuación del calor del siguiente modo:

MATH que despejando nos queda (con ): MATH obteniéndose pues un método llamado \underlinede tipo explícito, que requerirá la siguiente condición de estabilidad, $r\leq\dfrac {1}{2}$ para tener asegurada la convergencia

En el caso de los llamados \underlinemétodos de tipo implícito, una vez inicializado el proceso: , pasamos de $t_{k}\;$ a $t_{ki+1}$ por medio de las relaciones: MATH

Se puede demostrar que si el problema tiene una solución suficientemente regular, entonces MATH y esto sin ningún tipo de restricción respecto al paso de tiempo a tomar; es decir, el esquema resulta \underline incondicionalmente convergente.

Análogamente se pueden definir métodos numéricos, tanto de tipo explícito como implícito, para problemas de tipo hiperbólico (relacionados con la ecuación de ondas).