En muy pocos casos se puede encontrar la solución exacta de un problema de valores iniciales (p.v.i.) y, por tanto, es imprescindible establecer métodos aproximados de cálculo, entre los que se encuentran los basados en desarrollos en serie de potencias, en serie de Frobenius, etc, además de una categoría diferente formada por métodos numéricos.
Consideremos el problema de valores iniciales (p.v.i.) donde
,
y
es continua en el dominio
, además de satisfacer
una condición de Lipschitz respecto de
con constante
, y
. Sea
la única solución de (c15:pvi1) y sea
tal que
. Los métodos numéricos se
basan en la idea de discretización, es decir, en
determinar valores aproximados de
en el conjunto de nodos
definidos por
con
siendo
dado.
La longitud de paso
determina la partición de
.
Si
,
,
,
son
aproximaciones de
,
,
,
, respectivamente,
es una solución numérica del p.v.i. (c15:pvi1).
Las hipótesis sobre se mantendrán mientras no se
especifique otra cosa y no se hará en lo sucesivo referencia explícita a las
mismas.
Los resultados establecidos sobre derivación e integración numéricas hacen
posible construir diferentes métodos de generación de soluciones numéricas.
Desarrollaremos algunos ejemplos, para lo que supondremos que .
Si la solución fuese de clase dos,
entonces, por la fórmula de Taylor con resto de Lagrange, se puede escribir
donde
. Como
es solución de la
ecuación diferencial, la igualdad (c15:euler1) se
transforma en
igualdad cierta para
. El
método de Euler, o de Euler-Cauchy,
consiste en aproximar los valores
mediante los
generados por el
siguiente procedimiento:
Su relación con el método de las
poligonales de Euler es evidente.
?`Qué sucede si es de clase
? Aplicando la fórmula de
Taylor de orden
con resto de Lagrange
obtenemos que
siendo
un valor en
.
Como es
solución del p.v.i., se cumple que
Si utilizamos la notación
podemos
escribir
Por tanto,
y, si notamos
entonces
Análogamente,
donde
En general, para
, se verifica que
con
Entonces, definiendo
la igualdad (c15:taylor1) da lugar a
igualdad que sugiere generar las
aproximaciones
de
por medio del siguiente
procedimiento:
Lo denominaremos método de Taylor de orden
.
Observemos que presenta un gran inconveniente, a saber, que hay que calcular
cierto número de derivadas sucesivas de la solución del p.v.i. Sería, pues,
conveniente desarrollar un procedimiento que produjese un error similar al que
aparece en (c15:taylor1), pero que evitase calcular las
derivadas de la solución del p.v.i. Por simplicidad, y dado que sólo estamos
presentando algunos ejemplos concretos, supongamos . Entonces, (c15:taylor1) se escribe como
donde
Sean y
valores que
determinaremos a posteriori. Hallemos el polinomio de
Taylor de orden uno de la función
alrededor de
.
Teniendo en cuenta que
podemos escribir
con
donde
es un
valor entre
y
y
uno entre
y
.
Fijémonos en las expresiones para y
. Si
y
, entonces
por lo
que
En consecuencia,
donde
.
Podemos, por tanto, generar una solución numérica de (c15:pvi1) por medio del siguiente esquema: Es el
método de Euler corregido. Para calcular
a partir de
hay que evaluar
dos veces la función
.
Hemos visto cómo la técnica empleada para establecer el método de Euler puede seguirse para encontrar los métodos de Taylor y cómo es posible, al menos en el caso que hemos desarrollado, producir un método con un error similar pero para el que no hay que calcular derivadas.
Vamos a proceder de un modo totalmente diferente para establecer otro método para generar una solución numérica.
De nuevo, sea la única solución del p.v.i
(c15:pvi1). Consideremos un subintervalo cualquiera
. Como
para
, se cumple que
es
decir,
Consideremos ahora la función
, que no es conocida
al no disponer de
. La fórmula de Simpson
permite escribir
por lo que
Es
razonable generar una solución numérica del p.v.i. (c15:pvi1) mediante el siguiente procedimiento, en que se usa la
notación
:
Es el
denominado método de Simpson.
Claramente, en los métodos de Euler, Taylor y Euler corregido que hemos
desarrollado el cálculo del término de la solución numérica se
basa en el conocimiento del
; la sucesión
se calcula secuencialmente
a partir
,
haciendo
en las ecuaciones en diferencias de
(c15:euler2), (c15:taylor2) y
(c15:eulercorregido), respectivamente. En el método de
Simpson (c15:simpson) el término
de la
solución numérica se calcula a partir de los dos precedentes, por lo que será
necesario proporcionar un valor inicial adicional,
, antes de que
la sucesión
pueda
ser calculada.
Si el método es tal que, dados ,
, se
determina
explícitamente, el método se dice explícito; éste es el
caso de los métodos de Euler, Taylor y Euler corregido que hemos considerado.
Si, por el contrario, el valor
no puede ser calculado sin
resolver un sistema de ecuaciones implícito, como es el caso del método de
Simpson, entonces el método se dice implícito. Como la
función
es, en
general, no lineal en
, en los métodos implícitos
hay que considerar la resolución de un sistema no lineal de ecuaciones en cada
paso de los cálculos, y son, por tanto, computacionalmente más costosos que los
métodos explícitos. Observemos, por último, que en la ecuación en diferencias
para el método de Simpson intervienen sólo combinaciones lineales de
,
,
.
Los métodos desarrollados, salvo los de Taylor, son aplicables para resolver
p.v.i. correspondientes a sistemas diferenciales, es decir, en el caso .
Tras considerar algunos métodos específicos, es hora de precisar la noción de
método numérico, para lo que debemos tener en cuenta cómo en aquéllos cada
término de la solución numérica se calcula a partir de algún subconjunto ,
,
,
de valores
calculados, lo que implica conocer
,
,
,
. Adoptamos el
procedimiento seguido en [Stetter], adonde remitimos para las demostraciones de
los resultados que se especificarán..
Un método numérico de pasos para el
p.v.i. (c15:pvi1) está constituido por valores
iniciales
y una ecuación en
diferencias de la forma
donde
,
,
,
son
números reales y
una función -dependiente
de
y
- definida en un
subconjunto de
que verifica las
siguientes propiedades:
Si
entonces
.
Existe una constante tal que
Si aparece en
el método (c15:pvi3) se dice implícito, y explícito en caso contrario.
Por ejemplo, para el método de Euler y
por lo que basta con tomar
.
Para el método de Simpson, y
Por tanto,
y
podemos tomar
.
Finalmente, para el método de Euler corregido, y
de
donde se deduce que, por ejemplo,
.
Nótese que sólo hemos utilizado el que satisface, por hipótesis,
una condición de Lipschitz respecto de
y la desigualdad triangular
para la norma
, que es
arbitraria.
El método (c15:pvi2 )-(c15:pvi3) debe comportarse bien cuando
tiende a cero para
ser útil.
Diremos que (c15:pvi2 )-(c15:pvi3) es un método convergente si para todos los
p.v.i. (c15:pvi1) y cualesquiera condiciones iniciales
(c15:pvi2) para las que se cumple que
para
todas las soluciones numéricas
generadas por aquél. Un
método que no es convergente se dice divergente.
Frecuentemente se toma como definición de convergencia el que Es
equivalente, pero no se aprecia en ella la necesidad de considerar límite para
con
fijo.
Si el método es convergente los errores globales tienden a cero.
Determinar la convergencia de un método numérico no es fácil, por lo que es importante disponer de criterios que la garanticen.
Se define el error de truncatura local como
Mide si el método (c15:pvi3) es una representación lo suficientemente exacta del sistema diferencial de (c15:pvi1).
El método (c15:pvi3) se dice
consistente (con el sistema diferencial de (c15:pvi1)) si para todos los p.v.i. (c15:pvi1) se cumple que
La consistencia se expresa en términos de ,
y
,
.
El método (c15:pvi3) es consistente si
Definimos el primer polinomio característico
del método
(c15:pvi3) como
La condición (c15:pvi4) equivale a y (c15:pvi5) a
La convergencia de un método implica su consistencia. El recíproco no es
cierto: el método puede ser muy sensible a las perturbaciones de y
. La perturbación
y la solución perturbada
del método (c15:pvi2 )-(c15:pvi3) se definen por
medio de las igualdades
Sean y
cualesquiera dos
perturbaciones de (c15:pvi2 )-(c15:pvi3), y sean
y
sus respectivas
soluciones perturbadas. Se dice que el método (c15:pvi3) es cero-estable si existen constantes
y
tales que,
para todo
, se
cumple que
cuando
La cero-estabilidad se refiere al comportamiento del método en lo que
respecta a las perturbaciones cuando tiende a cero, y es una
propiedad del método. Los errores debidos a la discretización pueden
considerarse perturbaciones, así como los errores de redondeo.
?`Cuándo se da la cero-estabilidad?
El método (c15:pvi2 )-(c15:pvi3) es cero-estable si y sólo si todas las raíces del primer polinomio característico tengan módulo menor o igual que la unidad, y que las de módulo unidad sean simples.
Los conceptos de convergencia, consistencia y cero-estabilidad se relacionan del siguiente modo:
El método (c15:pvi3) es convergente si y sólo si es consistente y cero-estable.
Algunos de los métodos enumerados al comienzo comparten una propiedad y es
que es una
combinación lineal de los valores
,
,
,
. Son casos particulares de
una familia de métodos. Emplearemos la notación
, como ya hicimos
anteriormente.
Llamaremos método lineal multipaso o método
de
pasos a cualquier método (c15:pvi3) de la
forma
donde
y
,
,
son constantes tales que
y
.
El que las estructuras de ambos términos de (c15:mmp1)
sean iguales sugiere definir un polinomio similar a .
Se define el segundo polinomio característico de
(c15:mmp1) como
Si el método es implícito y la determinación de
se reduce a
resolver un sistema no lineal de la forma
donde
es una expresión conocida
de los valores
previamente calculados.
Este sistema tiene una única solución si
se elige de modo que
donde
es una constante de
Lipschitz de
. La
solución se determina por iteraciones sucesivas.
El error de truncatura local definido en (c15:pvi3bis
) adopta la expresión donde
Si
es suficientemente
derivable,
con
El método (c15:mmp1) se dice de
orden si
y
. En
este caso,
se llama constante de error.
Si el método es de orden , el error de truncatura
local es del orden
y los errores globales
. A priori, es
deseable establecer métodos del mayor orden posible, aunque hay limitaciones
ligadas al número de pasos.
Ningún método lineal de pasos puede tener orden
que exceda el valor
(resp.
) si
es impar (resp. par).
La integración numérica permite construir métodos lineales multipaso de una
manera sistemática, como ya vimos al establecer el método de Simpson. Una
estrategia consiste en emplear la igualdad y aproximar numéricamente la
integral de la función
empleando su polinomio de
interpolación en los nodos equidistantes
,
,
,
,
, con
.
Los métodos multipaso de la forma con
se denominan métodos de
Adams-Bashforth.
Son explícitos de pasos. Se evita el cálculo
individual de las integrales que definen los coeficientes
,
,
teniendo en cuenta que
Evidentemente, los métodos (c15:mmp2 )-(c15:mmp3) se pueden reescribir en la forma
Si a los nodos empleados para establecer la familia de métodos de
Adams-Bashforth añadimos surge una nueva familia de
métodos multipaso.
Los métodos multipaso de la forma con
se denominan métodos de
Adams-Moulton.
Son implícitos de pasos. Los coeficientes
,
, se
hallan a través de la relación
Los métodos de Adams-Bashforth y Adams-Moulton adoptan expresiones del tipo
(c15:mmp1) sin más que efectuar los cambios de índice
adecuados. Su primer polinomio característico es . Son convergentes.
La utilización de la igualdad con
origina los métodos
explícitos de Nyström
y los implícitos de
Milne-Simpson
cuyos coeficientes se relacionan con
los
y
. Su
primer polinomio característico es
. También son convergentes.
Se indicó la suficiencia de la condición para garantizar la
convergencia del método de las aproximaciones sucesivas para determinar
del método
(c15:pvi3) cuando es implícito. En el caso del multipaso
da lugar a la iteración
El valor
, que es arbitrario, puede
ser obtenido a partir de un método multipaso explícito
El uso conjunto de los métodos (c15:PrCo1 )-(c15:PrCo2) constituye un método predictor-corrector. Los métodos (c15:PrCo1) y (c15:PrCo2) se eligen del mismo orden y los de tipo Adams constituyen una elección habitual.
Todos los métodos enumerados inicialmente como modelos son lineales multipaso
ya descritos excepto el de Euler corregido. Pertenece a una categoría diferente
de métodos, que se motivan muy bien considerando la versión escalar () del problema (c15:pvi1) y haciendo uso del desarrollo de Taylor
El
conocimiento de las expresiones exactas de
,
, a partir de
y sus derivadas
sucesivas conduce a los métodos de Taylor
con
siendo
Son métodos de un paso, convergentes
si se hacen las hipótesis oportunas sobre la lipschitzianidad de
y sus derivadas sucesivas.
El intento de evitar el uso de derivadas sucesivas conduce a los métodos de Runge-Kutta, que responden a la formulación general
(para sistemas diferenciales)
donde
El valor
indica el número de
evaluaciones de
que hay que efectuar.
La idea subyacente consiste básicamente en considerar números ordenados del
al
de la forma
y en
emplear la subdivisión
del subintervalo
. Supondremos que se
verifica la condición
El método de Runge-Kutta (c15:RK1 )-(c15:RK3) se representa por medio de la tabla Será
un método explícito si
para
,
.
Están en la clase de métodos dada por (c15:pvi3), con
Su convergencia dependerá de su consistencia.
El método (c15:RK1 )-(c15:RK3) es consistente si y sólo si .
Si el método es consistente, entonces el error de truncatura local es .
Valores moderados de conducen a algunos métodos
explícitos particulares.
Método de Euler modificado
Método de Euler mejorado
Método de Heun
Método de Kutta
Método clásico de Runge-Kutta