Material docente para el alumno
Asignatura: "Geometría I". Curso 2003/04
Curso 1º-C
Licenciatura de Matemáticas
Universidad de Granada

Prácticas de ordenador
Profesor: Rafael López Camino
Departamento de Geometría y Topología

(Nota: Reproducida con el permiso del autor. Se prohíbe cualquier otra reproducción sin permiso)

Tema 1. Espacios vectoriales

Vectores

En primer lugar, un vector es una fila de números separados por comas y entre llaves: v = {2,4,-5,0}

Se pueden sumar y restar vectores que tengan la misma dimensión (mismo número de coordenadas). Si w = {-3,-2,0,5}, calcula v+w.

Para el producto por escalares, se usa el asterisco (*), o se deja un espacio. Calcular 3 v.

Independencia lineal

Usando que un conjunto de vectores v1,  
      v2,   ...  ,  
      vk  es li  
          nealmente independiente si la única 
solución de la ecuación     a1*
                  v1 + a2*v2 +   ...   + 
            ak*vk = 0    es la solución a1 = a2 =  ... =ak = 0, podemos ver directamente si un sistema es linealmente independiente usando el comando Solve.

Veamos que los siguientes tres vectores son linealmente dependientes.

v1 = {1, 3, 1}
v2 = {1, 0, 2}
v3 = {1, 6, 0}

Solve[
      a1*v1 + a2*v2 + a3*v3 == {0, 0, 0}, {a1, a2, a3}]

De la misma forma, los siguientes tres vectores son linealmente independientes

v1 = {3, 2, 1, -1}
v2 = {4, 2, 1, 0}
v3 = {-2, 4, 3, 1}

Solve[a*v1 + b*v2 + c*v3 == {0, 0, 0, 0}, {a, b, c}]

EJERCICIOS
1.Estudiar la dependencia o independencia lineal de los siguientes sistemas de vectores
a . - 
          v1 = (2, -1)  v2 = (-2, 
          1)
b . - 
          w1 = (3, 2, 4, 1, 
            5)  w2 = (1, 0, 1, 0, 1)  w3 = (2, 
            1, -2, -1, 
            0)
c . -  u1 = (-2, 0, 1, 2)  u2 = (-1, 2, 1, -1)   u3 = (0, 
            4, 1, -4)
d . - 
          v1 = (3, 2, 1)  v2 = (0, 1, 1)  v3 = (2, 1, 
            1)
e . - 
          v1 = (2, 1, 0, 
            2)  v2 = (3, -1, 0, 1)  v3 = (0, 5, 0, 
            4)
f . - 
            w1 = (2, 1, 0, 
              1)  v2 = (1, -2, 0, 1)  v3 = (1, 3, 0, 
              2)

2.- En un espacio vectorial de dimensión tres con base B={e1, e2, e3}  se consideran los vectores 
v1=2 e1 + e2,  v2 = e1 + e2 - e3  y  v3 = -e2 + 
                2 e3 .  
                    Estúdiese si el sistema de vectores dado por 
v1, v2 y v3 es linealmente independiente o no.

Sistema de generadores

Dado un sistema de vectores v1,  v2,   ... ,  
      vk  podemos calcular una base del subespacio que generan 
eliminando algunos de ellos si no fuesen linealmente independientes .  El proceso a seguir es el siguiente:
1.  -  Se toma un vector no nulo
          2.  -  
        Añadimos un vector más y comprobamos si el sistema es linealmente independiente .  Si el sistema es lin .  
            independiente dejamos ese vector y si es linealmente dependiente lo eliminamos .  
            Y volvemos a repetir el paso 2 hasta que terminemos con todos los vectores.

Ejemplo

Calculemos una base del subespacio U = <v1, 
      v2, v3, v4, v5>,  donde:

v1 = {2, 4, -2, 1};
v2 = {1, 0, -1, 2};
v3 = {-1, 4, 1, -5};
v4 = {0, 2, 1, 0};
v5 = {7, 0, -13, 5};

Como v1 y v2 son lin. indep. no eliminamos v2 y añadimos v3. Llamamos cero={0,0,0,0}

cero = {0, 0, 0, 0}

Solve[a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 == cero, {a1, a2, a3}]

Como v1 , v2 y  v3 son lin. dep.  eliminamos v3 y añadimos v4:

Solve[a1 v1 + a2 v2 + a4 v4 == cero, {a1, a2, a4}]

Como v1 ,v2 y  v4 son lin. indep. dejamos v4 y añadimos v5:

Solve[
      a1 v1 + a2 v2 + a4 v4 + a5 v5 == cero, {a1, a2, a4, a5}]

Así el sistema v1,v2,v4,v5 es lin. dep. y, por tanto, una base la formarían v1,v2 y v4.

Ejercicios

1.  -  
          Hallar una base del subespacio generado por v1 = (3, 
              2, -1, 
              0)   v2 = (2, -1, 0, 
                1)   v3 = (-1, -3, 1, 1)   
 v4 = (-1, 4, 3, 1)    v5 = (-2, 1, 
              4, 2)  conseguida a partir de los vectores anteriores
2.  - 
          Calcúlese una base y la dimensión del subespacio generado por los vectores  v1 = (3, 1, 2, 0, 
          1)  
v2 = (-1, 0, 2, 4, 
              3)    v3 = (2, 1, 4, 4, 4)     v4 = (4, 1, 
              0, -4, -2)
3.  -  
          En un espacio vectorial de dimensión tres con base B = {e1, e2, e3}  se consideran los vectores v1 = 2  e1 + e2,  
      v2 = e1 + e2 - e3  y  v3 = -e2 + 
            2 e3 .  
                Calcúlese la dimensión del espacio que generan los vectores {b1, b2, b3}.

Subespacios vectoriales

Se va a hallar una base y la dimensión de un subespacio vectorial, cuando éste viene expresando por sus ecuaciones cartesianas. Para ello usaremos las ecuaciones y usamos el comando NullSpace

Hallamos una base del subespacio U={(x,y,z);x+y-2z=0,x-y-3z=0}. Para ello, vamos escribiendo en vectores v1 y v2 los coeficientes de las dos ecuaciones. v1={1,1,-2},v2={1,-1,-3}
La sintaxis de NullSpace es: NullSpace[{ v1,v2}]

v1={1, 1, -2};
v2 = {1, -1, -3};

NullSpace[{v1, v2}]

Si hay ecuaciones linealmente independientes, el comando NullSpace no las tiene en cuenta.

Hallamos una base del subespacio vectorial de ecuaciones U={(x1,x2,x3,x4);x1-x2+x3-x4=0, 2x1+x2-x3+x4=0}.

NullSpace[{{1, -1, 1, -1}, {2, 1, -1, 1}}]

Se considera los subespacios U={(x1,x2,x3,x4);x1-x2+x3-x4=0, x1+x2-3 x3 +x4=0}, W={x1,x2,x3,x4);4 x1-x4=0,x1-x3=0}.

Hallar una base de U, W y de la intersección de U y W y hallar una base de U+W.

u1 = {1, -1, 1, -1}; u2 = {1, 1, -3, 1};

w1 = {4, 0, 0, -1}; w2 = {1, 0, -1, 0};

Base de U

NullSpace[{u1, u2}]

U1 = %[[1]]; U2 = %[[2]];

Base de W

NullSpace[{w1, w2}]

W1 = %[[1]]; W2 = %[[2]];

Base de la interseccion de U y W

NullSpace[{u1, u2, w1, w2}]

Base de U+W

Para hallar una base de U+W, se puede tomar la unión de los vectores que generan U y W, y tomar los que son linealmente independientes

Solve[
      a1*U1 + a2*U2 + a3*W1 == {0, 0, 0, 0}, {a1, a2, a3}]

Solve[
      a1*U1 + a2*U2 + a3*W1 + a4 W2 == {0, 0, 0, 0}, {a1, a2, a3, 
        a4}]