PROBLEMAS DE CONTORNO PARA ECUACIONES ELÍPTICAS

Introducción

En esta práctica trataremos algunos aspectos relacionados con problemas de contorno para ecuaciones elípticas. Más concretamente se tratará el problema de Dirichlet para el operador Laplaciano en la bola unidad.Los resultados teóricos que se mencionan se pueden ver en los apuntes de clase , o bien en los libros:
- [BI], A.V. Bitsadze: Equations of Mathematical Physics. Mir Publishers, Moskva, 1980.
- [AN],  A.N. Tijonov y A. A. Samarsky: Ecuaciones de la Física Matemática, Editorial Mir, Moscú, 1980, capítulo III, párrafo 2. 
- [ABR], S. Axler, P. Bourdon y W. Ramey. Harmonic Function Theory. Springer-Verlag, New York, 2001.

Para llevar a cabo esta práctica necesitamos también el paquete de Mathematica HFT.m, cuyo copyright es propiedad del profesor Sheldon Axler (San Francisco State University).  Este autor  ha tenido la amabilidad de ofrecerlo de manera gratuita en la dirección         http://www.axler.net

Como siempre, en primer lugar borramos todas las variables que pudiesen estar definidas con antelación

Clear["Global`*"]

Necesitamos a continuación cargar el paquete mencionado mediante la orden siguiente, que obviamente ha de adaptarse a cada situación particular, teniendo en cuenta el directorio en el que se encuentra el paquete HFT.m.

<< "D:\\Tony\\docencia\\cuartoedp\\200506\\contorno\\HFT.m"

El problema de Dirichlet para datos frontera polinomiales

Recordemos que en clase hemos estudiado el llamado problema de Dirichlet

△ u(x) = 0, x ∈ Ω,  u (x)  =  f (x),  x ∈∂ Ω         (1)

donde Ω es la bola  centrada en el origen y de radio uno (en adelante, bola unidad) en el espacio euclídeo n-dimensional.

Hemos demostrado que para cada función continua f definida sobre ∂ Ω , el problema (1) tiene una única solución u (de clase (C^2)( Ω) y continua en la clausura de  Ω) que está dada por la expresión

u (x)= (∫_(∂ Ω  ))K (x, s) 
          f (s) ds        (2)

donde K(x,s) = (1- ∥ 
                        x (∥ ^2))(∥s - 
                      x (∥ ^(-n)))/(Subscript[ω, n]) es el llamado Núcleo de Poisson. No parece que sea fácil, en general, el cálculo explícito de (2), por diversos motivos ((2) es un integral definida sobre la hipersuperficie ∂ Ω y el núcleo de Poisson no tiene un aspecto muy agradable, desde el punto de vista del cálculo de integrales). No obstante, mediante el paquete que hemos mencionado se puede calcular la solución del problema (1) para cualquier dato f que sea una función polinomial y cualquier dimensión n. Hemos de fijar en primer lugar la dimensión del espacio euclídeo en el que estamos trabajando. Comenzamos con n = 2.

SetDimension[x, 2]

A continuación introducimos la función f que estemos considerando, en este caso,  f((Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 2])) = (Subscript[x, 1]) + (Subscript[x, 2]^5) + (Subscript[x, 2]^3).

Dirichlet[(Subscript[x, 1]) + (Subscript[x, 2]^5) + (Subscript[x, 2]^3), x]

y  obtenemos la solución de manera explícita.

Si queremos comprobar que la función anterior es una función armónica, calculamos su Laplaciano de la manera siguiente:

Laplacian[%,  x]

Si queremos comprobar que en ∂ Ω, esta función coincide con la función dada procedemos así:

%%  /.  \[LeftDoubleBracketingBar]x\[RightDoubleBracketingBar] -> 1

Probemos con otras dimensiones y con otras condiciones de contorno

SetDimension[x, 3]

Dirichlet[(Subscript[x, 1]) + (Subscript[x, 2]^5) + (Subscript[x, 3]^2), x]

SetDimension[x, 5]

Dirichlet[(Subscript[x, 1]) - (Subscript[x, 2]^5) + (Subscript[x, 3]^2) + (Subscript[x, 5]), x]

SetDimension[x, 7]

Dirichlet[(Subscript[x, 2]^5), x]

Dirichlet[(Subscript[x, 2]^9), x]

¿Hay algo que te llame la atención?. Parece ser que si f es un polinomio, entonces la única solución de (1) es también un polinomio, del mismo grado que f. Puede que pienses que esto es trivial. Mira detenidamente la fórmula (2) y ten en cuenta la expresión de la función K(x,s). Seguro que ahora piensas que no es en absoluto trivial. Incluso es posible que dudes de la veracidad del resultado. Bueno, pues el resultado es verdad. Se puede consultar la demostración en el libro [ABR] S. Axler, P. Bourdon y W. Ramey: Harmonic Function Theory. Springer-Verlag, New YORK, 2001, Teorema 5.1, página 74. Si la consigues entender bien, puedes escribirla y entregármela, como trabajo adicional. 

Queda pendiente una cuestión muy interesante: ¿cómo es el procedimiento que permite, dada una función polinomial f, calcular la única solución de (1)?. Esto es más complejo, pero muy bonito. Viene descrito detalladamente en el capítulo 5 del libro anteriormente mencionado. ¡Puede ser una buena actividad para los meses de verano!

En clase hemos estudiado también un problema más complejo, donde la función u no es necesariamente una función armónica:

△ u(x) = g (x), x ∈ Ω,  u (x)  =  f (x),  x ∈∂ Ω         (3)

donde la función g se supone acotada y de clase (C^1)en el dominio  Ω. La solución de (3) se ha obtenido como suma de dos funciones v y w que se corresponden respectivamente con las únicas soluciones de (3) para f = 0 y g= 0. Si g y f son polinomios, usando el paquete citado puede encontrarse explícitamente la única solución de (3). El ejemplo que consideramos a continuación es para dimensión n = 3,  g(x) =  ((Subscript[x, 2])^2) (Subscript[x, 3]) ,  f(x) = ((Subscript[x, 1])^3) ((Subscript[x, 2])^2).

SetDimension[x, 3]

Dirichlet[((Subscript[x, 1])^3) ((Subscript[x, 2])^2),  x,  
      Laplacian ->  ((Subscript[x, 2])^2) (Subscript[x, 3])]

Como para el problema (1), podemos ¿comprobar? que la solución es corecta

Laplacian[%,  x]

%%  /.  \[LeftDoubleBracketingBar]x\[RightDoubleBracketingBar] -> 1

Podemos considerar otros ejemplos

Dirichlet[((Subscript[x, 1])^4),  x,  Laplacian ->  ((Subscript[x, 2])^2)]

Dirichlet[((Subscript[x, 1])^9),  x,  Laplacian ->  ((Subscript[x, 2])^2)]

De nuevo, lo que puede llamar la atención de un matemático es entender el procedimiento que ha elaborado S. Axler para calcular la única solución de (3) si f y g son polinomios. Puede consultarse el capítulo 5 de [ABR] (¡más trabajo para el verano!).

Finalmente, antes de pasar a otra cosa, hemos de decir que podemos usar coordenadas x,y,z, etc. para nuestras variables. Por ejemplo, para el problema (1),  dos variables indpeendientes x e y, y el dato de contorno f(x,y) = (x^5),  pondríamos

Dirichlet[(x^5), {x, y}]

Principio del máximo-mínimo. Dependencia continua de la solución respecto de los datos frontera.

Concentrémonos en el caso bidimensional, más que nada por sencillez en las expresiones. Supongamos que queremos calcular la única solución de (1) cuando  Ω es la bola unidad y el dato de contorno es f(x,y) = (e^x). Bueno, pues probamos con el comando usual

Dirichlet[Exp[x], {x, y}]

Parece que no lo hemos conseguido. ¿No habrás pensado que se puede calcular, mediante el programa Mathematica cualquier solución de (1)?. Esto sería creer demasiado en los programas informáticos y eso no es bueno para un matemático.El matemático tiene que creer "sólo lo justo" en los programas informáticos.  
¿Cómo podemos calcular la única solución de (1) en este caso, si sólo podemos calcular la solución explícita cuando el dato de contorno f es un polinomio?. Quizás funcione lo siguiente: la función (e^x) admite un desarrollo en serie de potencias dado por

(e^(x ))= \(TraditionalForm\`\(\(Σ\)\(\ \)\)\_\(k ⩾ 0\)\)  (x^k)/k!

Si denotamos por (Subscript[f, n])(x) a las sumas parciales de la serie anterior, y calculamos las correspondientes soluciones (Subscript[u, n])(x, y)del problema (1) cuando el dato de contorno es (Subscript[f, n]) , ¿tendremos garantizado que la sucesión (Subscript[u, n])(x, y) converge uniformemente, en la bola cerrada unidad, a la única solución de (1) para el caso f(x,y) = (e^(x ))? 
Si lo dudas, es que has olvidado demasiado pronto el  principio del máximo-mínimo.
 
Las expresiones explícitas de las funciones  (Subscript[u, n])(x, y) para n ⩽ 5, se dan a continuación

Dirichlet[1, {x, y}]

Dirichlet[1 + x, {x, y}]

Dirichlet[1 + x + (((x))^2)/2, {x, y}]

Dirichlet[1 + x + ((x^2))/2 + ((x^3))/6, {x, y}]

Dirichlet[
      1 + x + ((x^2))/2 + ((x^3))/6 + ((x^4))/24, {x, y}]

¿Serías capaz de dar una fórmula explícita para la función u(x,y) = (Subscript[(lim  ), n -> ∞])  (Subscript[u, n])(x,y)?

Para terminar,  vamos a visualizar el principio del máximo mínimo y la propiedad de dependencia continua de la única solución de (1) respecto del dato de contorno f, usando para ello las gráficas de las funciones solución y sus curvas de nivel. Lo hacemos en dos dimensiones, y consideramos una familia uniparamétrica de condiciones de contorno dada por la expresión f (x, y) =  kx + (y^5) + (1 - k) (y^3) (obviamente tenemos cualquier otra posibilidad).  El parámetro k lo hacemos variar de 0 a 1.5. 
Realizando previamente un cambio a coordenadas polares, en primer lugar vizualizamos la evolución de las gráficas de las soluciones y en segundo lugar la evolución de sus curvas de nivel, en blanco y negro y después en color. ¡Que no se te olvide hacer un doble click en la última gráfica!.

Clear[x, y, k]

Dirichlet[k*x + (y^5) + (1 - k) (y^3), {x, y}]

p[x_, y_] := 
      (1/16) (16 k x + 22 y - 12 k y - 27 (x^2) y + 12 k (x^2) y + 
            5 (x^4) y + 9 (y^3) - 4 k (y^3) - 10 (x^2) (y^3) + 
            (y^5))

x :=  r*Cos[z]
y :=  r*Sin[z]

q[r_, z_] :=  p[x, y]

For[k = 0, k  ≤ 1.5, k = k + 0.025, 
      Plot3D[q[r, z], {r, 0, 1}, {z, 0, 2*Pi}, 
        ImageSize -> 380]]

Observa que los valores máximo y mínimo de la solución se corresponden con los valores máximo y mínimo en la frontera del dominio, que ahora viene definida por r =1.

For[k = 0, k  ≤ 1, k = k + 0.025, 
      ContourPlot[q[r, z], {r, 0, 1}, {z, 0, 2*Pi}, 
        ImageSize -> 380]]

Tienes la oportunidad de comprobar dos cosas: por una parte, las curvas de nivel varían de manera continua. Por otra, los grises más y menos intensos (lugares donde se alcanzan los valores máximo y mínimo de la función solución), están necesariamente en la frontera del dominio (recuerda r=1).

For[k = 0, k  ≤ 1, k = k + 0.025, 
      ContourPlot[q[r, z], {r, 0, 1}, {z, 0, 2*Pi}, ImageSize -> 380, 
        ColorFunction -> Hue]]

¿Serías capaz de identificar los colores que se corresponden con los valores máximo y mínimo de la función slución?.

Otros problemas y tareas adicionales.

Si el verano se alarga, te propongo algunas tareas adicionales relacionadas con el problema de Dirichlet y con ecuaciones elípticas en general. En primer lugar, puedes practicar con numerosas nociones y conceptos que aparecen en el tema de ecuaciones elípticas (cálculo de laplacianos, gradientes, divergencias, áreas de hipersuperficicies, problemas de Dirichlet en dominios que no son necesariamente bolas, otros problemas de contorno, etc.). Para ello es tremendamente útil el "notebook" 
                                                               .

ComputingWithHarmonicFunctions.nb

elaborado por el profesor Sheldon Axler, y que se puede conseguir gratuitamente en la página web  http://www.axler.net  mencionada al comienzo de esta práctica. 

También, en la página web del profesor Alfred Clark http://www.me.rochester.edu/courses/ME201/ tienes algunos ejemplos muy bonitos sobre el problema de Dirichlet para un rectángulo y se ilustra de manera muy precisa la dependencia continua de la única solución de (1) respecto de las condiciones de contorno f.