PROBLEMAS DE TIPO MIXTO PARA EDP

Problemas de tipo mixto para la ecuación del calor.

En la primera parte de esta práctica trataremos algunos aspectos relacionados con problemas de tipo mixto para la ecuación del calor. Entre otros, aparecerán cuestiones relacionadas con el principio del máximo-mínimo y con el comportamiento asintótico de las soluciones cuando el tiempo diverge a +∞. 
 Los resultados teóricos que se mencionan se pueden ver en los apuntes de clase (o bien en el libro: [CA], A. Cañada, Series de Fourier y aplicaciones, un tratado elemental con notas históricas y ejercicios resueltos, editorial Pirámide, Madrid, 2002, Capítulo III).

Primer problema de tipo mixto

\(El\ primer\ problema\ de\ tipo\ mixto\ responde\ al\ planteamiento\ siguiente\ \((\([CA]\), página\ 203)\)\):
(Subscript[u, t])= (Subscript[u, xx]), 0 ≤ x ≤ π, t>0   (ecuación del calor homogénea)
        \(u \((0, t)\) = \(0 = 
            u \((π, t)\)\), \ \ \ t ≥ 
          0\ \ \ \((condiciones\ de\ contorno\ nulas)\)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \((1)\)\)
        u (x, 0) =  f (x), 
        0 ≤ x ≤ π  (temperatura inicial)

Comenzamos con una temperatura inicial sencilla  dada por una función definida en el intervalo [0,π], con derivada continua y que se anula en los extremos del intervalo.

Clear["Global`*"]

f[x_] := -(x - (Pi/2))^2  + (Pi^2/4)

Plot[
      f[x], {x, 0, 
        Pi}, 
PlotStyle -> {{Thickness[
              0.015]}}]

Según lo demostrado en clase ([CA], página 213), dado T > 0, el problema (1) tiene una única solución para (x,t) ϵ [0,π ]x[0,T].  Para calcularla, definamos los coeficientes de Fourier de la función f respecto de la base usual de senos, en el intervalo (0,π).

a[n_]  =  (2/Pi) Integrate[f[x]*Sin[n*x], {x, 0, Pi}]

Entonces, según el teorema de existencia y unicidad demostrado en clase, la suma parcial n-ésima de la serie que define la única solución de (1) viene dada por

u[x_, t_, n_] = 
      Sum[ a[k] Sin[k* x] Exp[-t (k)^2], {k, 1, n}]

Nuestro objetivo inmediato es visualizar algunas propiedades de la solución tales como: 
- principio del máximo-mínimo  
-  comportamiento asintótico cuando el tiempo diverge a +∞. 

Para ello, observemos  que la expresión anterior tiene tres variables: x, t y n. Para poder realizar gráficas adecuadas para nuestros propósitos, hemos de quedarnos con una variable. Fijemos n = 10 (con lo que no estamos trabajando con la verdadera solución, sino con una aproximación suya: la suma parcial de orden 10). 
Visualicemos el principio del máximo mínimo y el comportamiento asintótico respecto del tiempo, tomando, por ejemplo t = 0 (temperatura inicial), t =0.25, t=0.50, t=1 y t=2. Primero en versión blanco  y negro (donde el grosor de la gráfica va aumentando con el tiempo)  y luego en versión coloreada.

Plot[{f[x], u[x, 0.25, 10], u[x, 0.50, 10], u[x, 1, 10], 
        u[x, 2, 10]}, {x, 0, Pi}, PlotRange -> {{0, Pi}, {0, 2.5}}, 
      PlotStyle -> {{Thickness[0.001]}, {Thickness[0.005]}, {Thickness[
              0.010]}, {Thickness[0.015]}, {Thickness[0.020]}}]

Plot[{f[x], u[x, 0.25, 10], u[x, 0.50, 10], u[x, 1, 10], 
        u[x, 2, 10]}, {x, 0, Pi}, PlotRange -> {{0, Pi}, {0, 2.5}}, 
      PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 0], RGBColor[1, 0, 0], 
          RGBColor[0, 1, 0], RGBColor[0, 0, 1], 
          RGBColor[0.5, 1, 1]}]

Incluso podemos hacer una animación. Cuando terminen de elaborarse las gráficas, haz  doble click en la última.

For[t = 0, t ≤ 2, t = t + 0.25, 
      Plot[{u[x, t, 10]}, {x, 0, Pi}, PlotRange -> {{0, Pi}, {0, 3}}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0]}]]

Preguntas:      P1.- ¿Por qué usamos en este problema la base de senos y no otra?
                                P2.- ¿Podrías explicar cómo se pone de manifiesto el principio del máximo-mínimo en este ejemplo?.
                                P3.- ¿Qué le ocurre a la solución cuando el tiempo diverge a + ∞? ¿Crees que esto ocurre sólo en este ejemplo o será una propiedad general de la solución del primer problema de tipo mixto para la ecuación del calor?.

Segundo problema de tipo mixto.

Ahora vamos a tratar con el segundo problema de tipo mixto, que responde al planteamiento siguiente ([CA], página 235):

(Subscript[v, t]) =  (Subscript[v, xx]), 0 ≤ x ≤ π,  
      t > 0    (ecuación  del  calor  homogénea)
\(\(v\_x\) \((0, 
            t)\) = \(0 = \(v\_x\) \((π, t)\)\), \ \ \ t ≥ 
        0\ \ \ \((condiciones\ de\ contorno\ para\ temperaturas\ libres)\)\ \ \ \ \ \((2)\)\)
v (x, 0)=g(x),0≤x≤π  (temperatura inicial)

Tomemos como temperatura inicial una función estrictamente creciente definida por

g[x_] := 3  x + 1

Según lo demostrado en clase ([CA], página 242),  dado T > 0, el problema (1) tiene una única solución para (x,t) ϵ [0,π ]x[0,T]. Para calcularla, definamos los coeficientes de Fourier de la función g respecto de la base usual de cosenos, en el intervalo  (0,π) .

b[0  _]  =  (2/Pi) (Integrate[g[x], {x, 0, Pi}])

b[n_]  =  (2/Pi) (Integrate[
            g[x]*Cos[n*x], {x, 0, Pi}])

Entonces, según el teorema de existencia y unicidad demostrado en clase, la suma parcial n-ésima de la serie que define la única solución viene dada por

v[x_, t_, n_] = 
      b[0]/2 + Sum[
          b[k] Cos[k* x] Exp[-t (k)^2], {k, 1, n}]

Igual que antes, visualicemos el comportamiento asintótico respecto del tiempo, tomando por ejemplo t=0 (temperatura inicial), t=0.25, t=0.50, t=1 y t=2. Primero en versión blanco y negro y luego en versión coloreada.

Plot[{g[x], v[x, 0.25, 10], v[x, 0.50, 10], v[x, 1, 10]}, {x, 0, Pi}, 
      PlotStyle -> {{Thickness[0.001]}, {Thickness[0.005]}, {Thickness[
              0.010]}, {Thickness[0.015]}, {Thickness[0.020]}}]

Plot[{g[x], v[x, 0.25, 10], v[x, 0.50, 10], v[x, 2, 10]}, {x, 0, Pi}, 
      PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 0], RGBColor[1, 0, 0], 
          RGBColor[0, 1, 0], RGBColor[0, 0, 1], 
          RGBColor[0.5, 1, 1]}]

Parece que algunas propiedades son las mismas que para el problema (1) . Otras en cambio no. Consulta estas propiedades en el capítulo III de [CA]. Hagamos a continuación una animación.

For[t = 0, t ≤ 2, t = t + 0.25, 
      Plot[{v[x, t, 10]}, {x, 0, Pi}, PlotRange -> {{0, Pi}, {0, 10}}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0]}]]

Prueba ahora con el problema de tipo mixto (2), pero con la misma temperatura inicial que para el problema de tipo mixto (1), y observa las diferencias fundamentales.

c[0  _]  =  (2/Pi) (Integrate[f[x], {x, 0, Pi}])

c[n_]  =  (2/Pi) Integrate[f[x]*Cos[n*x], {x, 0, Pi}]

w[x_, t_, n_] = (c[0]/2)  +  
        Sum[c[k] Cos[k* x] Exp[-t (k)^2], {k, 1, n}]

Plot[{f[x], w[x, 0.25, 10], w[x, 0.50, 10], w[x, 1, 10]}, {x, 0, Pi}, 
      PlotRange -> {{0, Pi}, {0, 3}}, 
      PlotStyle -> {{Thickness[0.001]}, {Thickness[0.005]}, {Thickness[
              0.010]}, {Thickness[0.015]}}]

Plot[{f[x], w[x, 0.25, 10], w[x, 0.50, 10], w[x, 2, 10]}, {x, 0, Pi}, 
      PlotRange -> {{0, Pi}, {0, 3}}, 
      PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 0], RGBColor[1, 0, 0], 
          RGBColor[0, 1, 0], RGBColor[0, 0, 1]}]

For[t = 0, t ≤ 2, t = t + 0.25, 
      Plot[{w[x, t, 10]}, {x, 0, Pi}, PlotRange -> {{0, Pi}, {0, 3}}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0]}]]

Preguntas:      P4.- ¿Por  qué usamos en el problema (2) la base de cosenos y no la base de senos?
                                P5.-  ¿A qué constante convergen las gráficas de la solución cuando el tiempo  diverge a +∞ ?. ¿Crees que esto ocurre sólo en estos dos  ejemp   los  o será una  propiedad general de la solución del segundo problema de tipo mixto?.

Problemas de tipo mixto para la ecuación de ondas.

\(Pasemos\ a\ continuación\ a\ considerar\ algún\ problema\ de\ tipo\ mixto\ para\) 
\(la\ ecuación\ \ ondas . \ 
                El\ \ primer\ problema\ de\ tipo\ mixto\ responde\ al\ planteamiento\ siguiente\ \((\([CA]\), página\ 252)\)\):

(Subscript[u, tt])= (Subscript[u, xx]), 0 ≤ x ≤ π, t>0   (ecuación de ondas homogénea)
        u (0, t) = 0 = u (π, t),   \(t ≥ 
          0\ \ \ \((condiciones\ de\ contorno\ nulas)\)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \((3)\)\)
        u (x, 0)= α(x),0 ≤ 
            x ≤ π  (posición  inicial), 
(Subscript[u, t ]) (x, 0)  =  β (x), 0 ≤ 
            x ≤ π  (velocidad inicial).

Recordemos que, bajo hipótesis adecuadas, la única solución de este problema viene dada por la fórmula 

                                   u (x, t)=(∑_(n = 1)^∞)[A (n) cos (n t) +  
                B (n) sen (n t)] sin (n x) 
                                                                                                       
donde A(n) y B(n) se calculan a partir de los coeficientes de Fourier de  β y  α, respectivamente. Practiquemos con algún ejemplo.

Clear["Global`*"];
alfa[x_] = x^3 (-x + Pi)^3 ;     
bet[x_] = x (-x + Pi);     
A[
            s_] = (2/
                Pi) (∫_0^Pi) alfa[x] Sin[
                  s x] \[DifferentialD]x;   
B[
            s_] = (1/s) (2/
                Pi) (∫_0^Pi) bet[x] Sin[
                  s x] \[DifferentialD]x;   
u[x_, 
            t_] = (∑_(n = 1)^20)(A[n]  Cos[n t] + 
                  B[n] Sin[n t]) Sin[n x];

  
For[t = 0, 
        t < 5, t = t + 0.05, 
        Plot[u[x, t], {x, 0, Pi}, 
          PlotRange -> {-20, 20}]];

Preguntas:      P6.- ¿Observas alguna diferencia fundamental respecto de  las soluciones de los problemas de tipo mixto para la ecuación del calor, en lo que se refiere al comportamiento de la solución cuando el tiempo diverge a +∞ ?. Si es así, ¿cuál crees que es el motivo?. 
                                P7.- ¿Crees que el comportamiento asintótico de las soluciones sería distinto si tuviésemos una ecuación de ondas no homogénea? Si quieres, puedes preparar una práctica para este caso y me la entregas.