Gradiente, divergencia, rotacional, laplaciano.

Francisco Javier Pérez González
Departamento de Análisis Matemático
Universidad de Granada

En esta práctica vamos a estudiar los operadores diferenciales más importantes del cálculo diferencial vectorial así como algunas de las relaciones más útiles que hay entre ellos.

Gradiente de un campo escalar

El gradiente de un campo escalar f es el campo vectorial ∇f cuyas componentes son las derivadas parciales de primer orden de f. El vector gradiente es útil para calcular derivadas de un campo escalar en una dirección dada. Te recuerdo que una dirección en (ℝ^n) es un vector de norma 1. Si f es un campo escalar con derivadas parciales continuas, la derivada de f en un punto a en la dirección dada por el vector u viene dada por el producto escalar ⟨∇f(a) | 
          u⟩. Supuesto que ∇f(a) ≠ 0, la dirección en la cual la derivada direccional de f en a es máxima, que indica la dirección en la cual el campo en a crece más rápidamente, viene dada por el vector ∇f(a)/ || ∇f(
            a) || . Por tanto, el vector gradiente en cada punto indica la dirección en la que el campo aumenta más rápidamente en dicho punto. Análogamente, la dirección en la cual la derivada direccional de f en a es mínima, que indica la dirección en la cual el campo en a decrece más rápidamente, viene dada por el vector -∇f(a)/ || ∇f(
            a) || . Si a y b son puntos de (ℝ^n) la dirección del punto a hacia el punto b viene dada por el vector (b - a)/ || b - a || .
En lo que sigue trabajaremos con campos escalares de dos o de tres variables. Aunque Mathematica dispone de comandos para calcular el vector gradiente de un campo escalar no vamos a usarlos en esta práctica.

Ejercicio 1

Ejercicio 2

T (x, y) = 
      (100/(1 + (((x - 10.5))^2) + 2 (((y - 8.5))^2)))

Ejercicio 3

T (x, y) = 10 + (x^2) - (y^2)

Divergencia de un campo vectorial

Ejercicio 4

Rotacional de un campo vectorial

Ejercicio 5

Ejercicio 6

rot(f F)=f rot(F)+grad f× F

Laplaciano de un campo escalar

El laplaciano de un campo escalar f de clase (C^2) es el campo escalar Δ f definido por

Δ f(x, y, z) = 
          (∂^2) (f/∂)(x^2) (x, y, z) + 
            (∂^2) (f/∂)(y^2) (x, y, z) + 
            (∂^2) (f/∂)(z^2) (x, y, z)

Si Ω es un dominio en (ℝ^3), la ecuación diferencial

(∂^2) (f/∂)(x^2) (x, y, z) + 
            (∂^2) (f/∂)(y^2) (x, y, z) + 
            (∂^2) (f/∂)(z^2) (x, y, z)=0                              
            (x, y, z) ∈ Ω

se llama ecuación de Laplace. Las funciones f  que satisfacen dicha ecuación de llaman funciones armónicas en Ω.

Es frecuente introducir el operador

∇ =(∂/∂)xi+(∂/∂)yj+(∂/∂)zk

Este operador, que suele llamarse con el extraño nombre de "nabla", al actuar sobre un campo escalar f nos da su gradiente

∇f= ((∂/∂)xi+ (∂/∂)yj+(∂/∂)zk)f=∂(f/∂)xi+∂(f/∂)yj+∂(f/∂)zk=grad(f)

Si hacemos simbólicamente el producto escalar de ∇ por un campo vectorial  F=((Subscript[F, 1]), (Subscript[F, 2]), (Subscript[F, 3])) obtenemos la divergencia de F.

∇.F=((∂/∂)xi+ (∂/∂)yj+(∂/∂)zk).((Subscript[F, 1])i+(Subscript[F, 2])j+(Subscript[F, 3])k)=\(∂F\_1\/∂x + ∂F\_2\/∂y + ∂F\_3\/∂z\)=div(F)

Por esa razón es frecuente representar la divergencia de F por el símbolo ∇.F. 
Si hacemos simbólicamente el producto escalar de ∇ por sí mismo obtenemos el laplaciano:

(∇.∇)f=(((∂/∂)xi+ (∂/∂)yj+(∂/∂)zk).((∂/∂)xi+ (∂/∂)yj+(∂/∂)zk))f=(∂^2) (f/∂)(x^2) + 
                (∂^2) (f/∂)(y^2) + 
                (∂^2) (f/∂)(z^2)=Δ f

Por esa razón es frecuente representar el laplaciano de f por el símbolo (∇^2) f. 
Si hacemos simbólicamente el producto vectorial de ∇ por un campo vectorial F=((Subscript[F, 1]), (Subscript[F, 2]), (Subscript[F, 3])) obtenemos el rotacional de F.

∇×F=((∂/∂)xi+ (∂/∂)yj+(∂/∂)zk)×((Subscript[F, 1])i+(Subscript[F, 2])j+(Subscript[F, 3])k)=\((∂F\_3\/∂y - ∂F\_2\/∂z)\)i+\((∂F\_1\/∂z - ∂F\_3\/∂x)\)j+\((∂F\_2\/∂x - ∂F\_1\/∂y)\)k =rot(F)

Las fórmulas anteriores permiten recordar fácilmente las definiciones de gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano.

Ejercicio 7

∇×(∇×F)=∇(∇ . F)-(∇^2)F