Álgebra lineal con métodos elementales. Resolución de ejercicios tipo
Página Facebook: Álgebra lineal con métodos elementales.
Dos matrices $A$ y $B$ son equivalentes por filas (y se denota $A\sim_f B$) si se puede pasar de una a otra por una sucesión de transformaciones elementales de filas que son las de los siguientes tipos:Tipo I: Intercambiar la posición de dos filas.
Tipo II: Multiplicar todos los elementos de una fila por un escalar no nulo.
Tipo III: Sumar a una fila otra multiplicada por un escalar.
Dos matrices que son equivalentes por filas, son distintas pero tienen varias características comunes:
- Los sistemas de ecuaciones que determinan tienen igual solución.
- Los subespacios vectoriales que generan sus filas son iguales.
- En particular tienen igual rango.
Cuando buscamos una matriz cuya estructura por filas sea lo más simple posible pretendemos varias cosas:Se dice que una matriz $H$ es escalonada reducida por filas si verifica:
- Que tenga el mayor numero de elementos $0$ posible.
- Que el primer elemento no nulo (o pivote) de cada fila sea lo mas simple posible: un $1$.
- Que estos pivotes estén bien ordenados: en escalones:
Así por ejemplo, las matrices: $$ \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\;\; \left(\begin{array}{rrrrrrr} 0 & 0 & 1 & 17 & 0 & 22 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 30 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) $$ son escalonadas reducidas (compruébese).
- Si $H$ tiene filas compuestas enteramente por ceros (filas nulas), éstas están agrupadas en la parte inferior de la matriz.
- El pivote (primer elemento no nulo) de cada fila no nula es $1$.
- El pivote de cada fila no nula está a la derecha del de la fila anterior.
- Los elementos que aparecen en la misma columna que el pivote de una fila son todos cero.
Se prueba que dada una matriz $A$ existe una única matriz $H$ verificando que:Esta matriz $H$ recibe el nombre de forma escalonada reducida de $A$ o forma de Hermite por filas de $A$.
- $H$ es escalonada reducida por filas
- $A$ y $H$ son equivalentes por filas.
El hecho de que la forma de Hermite de una matriz $A$ sea única fuerza que aunque haya muchos caminos (distintas sucesiones de transformaciones elementales) para obtenerla, todos conduzcan al mismo sitio. Existe un algoritmo, una serie de pasos ordenados que nos marcan un camino para obtener $H$ a partir de $A$ de forma más o menos automática, pero a menudo ese camino no es el más cómodo o el más rápido y con la práctica aprendemos a ver que paso interesa más dar en cada caso.Recordemos que el rango de $A$ es el número de filas no nulas de $H$ (o lo que es igual: el número de pivotes $1$).Unas indicaciones básicas sobre el camino a seguir:
1. Podemos comenzar por conseguir un pivote $1$ en la primera fila. Si en la primera columna hay algún elemento no nulo este pivote lo conseguiremos en la posición $(1,1)$. Si todos los elementos de la primera columna son cero, pasamos a intentarlo en la segunda (posición $(1,2)$) y así sucesivamente. Según el caso, hay varias formas de conseguir este pivote 1, (por supuesto podemos conseguirlo en cualquier fila y luego intercambiar para llevarlo a la primera):
2. A cada una de las restantes filas se le hace $0$ el elemento que cae bajo el pivote sumándole la primera multiplicada por el escalar conveniente (transformación de tipo III). Una vez hecho esto la matriz tendrá una de las siguientes formas: $$ \left(\begin{array}{rrrr} 1 & * & \dots & * \\ 0 & * & \dots & * \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & * & \dots & * \\ \end{array}\right) \hbox{ } \left(\begin{array}{rrrrrrr} 0 & 0 & \dots & 1 & * & \dots & * \\ 0 & 0 & \dots & 0 & * & \dots & * \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & 0 & * & \dots & * \\ \end{array}\right) $$
3. Hemos de repetir el proceso (pasos 1 y 2) para las siguientes filas, hasta que no haya más o todos los elementos de las filas que queden sean cero. Así, obtendremos una matriz escalonada.
4. Finalmente, con el pivote $1$ de cada fila no nula se hace $0$ el término correspondiente de todas las anteriores, con lo que la matriz resultante será escalonada reducida.
5. Es muy conveniente comprobar que la matriz obtenida es verdaderamente escalonada reducida.
Algunas recomendaciones importantes:
1. Si a una matriz se le hace una transformación elemental por filas, la matriz que se obtiene tiene todas sus filas iguales a la de partida, salvo una. Es peligroso hacer más de una transformación de una vez ya que, según el caso, el resultado de una puede influir en la siguiente.
2. Si los cálculos nos marean siempre podemos calcular en sucio: Si en la matriz $$ \left(\begin{array}{rrrrrrr} 1 & 2 & -1 & -1 & 1 & 1 & 0\\ 3 & 6 & -3 & -3 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \sim_f $$ queremos sumar a la segunda fila la primera multiplicada por $-3$, podemos poner: $$ \begin{array}{rrrrrrrr} Primera\cdot (-3): & -3 & -6 & 3 & 3 & -3 & -3 & 0\\ Segunda: & 3 & 6 & -3 & -3 & 0 & 1 & 0\\ & & & & & & & \\ Suma: & 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & -2 & 0 \end{array} $$ y ponemos el resultado en la segunda fila: $$ \left(\begin{array}{rrrrrrr} 1 & 2 & -1 & -1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & -2 & 0\\ 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) $$
3. En el cálculo de una forma de Hermite es bastante fácil cometer algún error que altere totalmente el resultado, por eso es importante ser cuidadoso y comprobar el resultado siempre que sea posible.
Lo primero que hacemos es conseguir un pivote $1$ en la posición $1,1$, para ello hacemos la transformación de tipo III consistente en sumar a la primera fila la segunda: $$ A= \left(\begin{array}{rrrr} -2 & -4 & 2 & 2 \\ 3 & 6 & -3 & -3 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & -1 & -1 \\ 3 & 6 & -3 & -3 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \end{array}\right) \sim_f $$ Ahora con el pivote $1$ que hemos obtenido hacemos ceros debajo de él (pivotamos), primero restando a la segunda fila tres veces la primera y después restando a la tercera fila la primera: $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right) \sim_f $$ Ahora nos fijamos en la parte de la matriz que quedar\'{\i}a si quitásemos la primera fila y la primera columna y repetimos el proceso. Hemos de conseguir un pivote $1$ en la segunda fila, para ello, intercambiamos la segunda y la tercera filas: $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \sim_f $$ Seguidamente hemos de hacer cero con ese pivote los elementos que hay bajo él, pero en este caso ya está hecho. Puesto que la fila que queda está compuesta enteramente por ceros, ya hemos terminado de escalonar. Para obtener una matriz escalonada reducida solo resta usar los pivotes $1$ para hacer ceros por encima de ellos. En este caso, sumando a la primera fila la segunda: $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) $$ Antes de presentar nuestro resultado, comprobamos que efectivamente la matriz obtenida es escalonada reducida. Para ello comprobamos que se cumplen las condiciones de la definición de matriz escalonada reducida: En efecto, si hay filas nulas están al final, los pivotes son $1$, están escalonados y los demás elementos de su columna son ceros, luego la forma normal de Hermite por filas de $A$ es: $$ H= \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) $$ y el rango de $A$ es $2$.NOTA: por supuesto, en el primer paso también podríamos haber obtenido el pivote $1$ intercambiando la primera y la tercera filas, esto nos hubiese llevado a un camino distinto para obtener $H$, pero puesto que sabemos que la forma de hermite es única, el resultado final sería el mismo (compruébese).