Álgebra lineal con métodos elementales. Resolución de ejercicios tipo

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Matriz de paso entre dos matrices equivalentes por filas

1. $A$ y $B$ son equivalentes por filas.
2. $A$ y $B$ tienen igual forma de Hermite por filas.
3. Existe una matriz regular $Q \in {\mathfrak M} _{m}(\mathbb{K} )$ de forma que $B=Q\cdot A$.

Para estudiar si dos dadas matrices son equivalentes por filas tenemos dos caminos:

1. Intentar pasar de una a otra por medio de transformaciones de filas. Si lo conseguimos serán equivalentes por filas. El problema es que el hecho de que no lo consigamos no significa que no lo sean.

2. Calcular la forma de Hermite de ambas matrices y compararlas. Si ambas matrices tienen igual forma de Hermite, serán equivalentes por filas y en caso contrario no.

Si $A$ y $B$ son equivalentes por filas, según (c) existirá una matriz regular $Q$ de forma que $QA=B$, ¿cómo podemos calcularla?. De nuevo hay dos caminos:

1. Si sabemos pasar por transformaciones elementales de $A$ a $B$, aplicando las mismas transformaciones a $(A|I)$ obtendremos $(B|Q)$ de forma que $B=Q\cdot A$.

2. Calculamos la forma de Hermite y la matriz de paso a ambas matrices. si $A$ y $B$ son equivalentes por filas ambas formas de Hermite coincidirán y tendremos la situación: $$ H = Q_1 \cdot A; \;\;\; H=Q_2 \cdot B $$ y de aquí obtenemos: $$ B=Q_2^{-1}\cdot H=(Q_2^{-1}\cdot Q_1) \cdot A $$ y llamando $Q=Q_2^{-1}\cdot Q_1$, tenemos una matriz regular $Q$ de forma que $B=Q\cdot A$.

Estudiar si las matrices: $$ A= \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array}\right) ; \;\; B= \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array}\right) $$ son equivalentes por filas, y en tal caso determinar una matriz regular $Q$ de forma que $B=Q\cdot A$,

En este caso no es difícil cómo obtener $B$ a partir de $A$ por transformaciones elementales de filas: Restamos la primera fila a la segunda y a la tercera: $$ A= \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) $$ cambiamos de signo la segunda y la tercera filas: $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) $$ y reordenamos las filas: $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array}\right) =B $$ luego $A$ y $B$ son equivalentes por filas ya que hemos obtenido $B$ a partir de $A$ por transformaciones elementales de filas. Para obtener una matriz regular $Q$ de forma que $Q\cdot A=B$, basta hacer las mismas transformaciones a $(A|I)$: $$ (A|I)= \left(\begin{array}{rrrr|rrr} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrrr|rrr} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right) \sim_f $$ $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrrr|rrr} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0\\ -1 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1\\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrrr|rrr} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0\\ -1 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1\\ \end{array}\right) \sim_f $$ $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrrr|rrr} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1\\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrrr|rrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ \end{array}\right) = (B|Q) $$ luego $$ Q= \left(\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 0\\ 1 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 0\\ \end{array}\right) $$ Comprobemos que verdaderamente $Q\cdot A = B$: $$ Q\cdot A= \left(\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 0\\ 1 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 0\\ \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array}\right) = B $$

Estudiar si las matrices: $$ A= \left(\begin{array}{rrr} -3 & -9 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 6 & -1 \end{array}\right) ; \;\; B= \left(\begin{array}{rrr} 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\ -1 & -3 & \frac{5}{2}\\ 1 & 3 & -2 \end{array}\right) $$ son equivalentes por filas, y en tal caso determinar una matriz regular $Q$ de forma que $B=Q\cdot A$.

Calculamos la forma de Hermite por filas de $A$ y la matriz de paso. Comenzamos sumando a la primera fila dos veces la cuarta: $$ (A|I)= \left(\begin{array}{rrr|rrrr} -3 & -9 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 6 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr|rrrr} 1 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 6 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \sim_f $$ restamos a la cuarta dos veces la primera: $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrr|rrrr} 1 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -2 & 0 & 0 & -3 \end{array}\right) \sim_f $$ multiplicamos por $-1$ la cuarta fila e intercambiamos segunda y cuarta: $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrr|rrrr} 1 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 3 \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr|rrrr} 1 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right) $$ La matriz $$ \left(\begin{array}{rrr} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) $$ ya es escalonada reducida, luego obtenemos: $$ H= \left(\begin{array}{rrr} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) ; \;\;\; Q_1= \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) $$ Comprobamos que $H=Q_1\cdot A$: $$ Q_1 \cdot A= \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrr} -3 & -9 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 6 & -1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) = H $$ Hacemos lo mismo para $B$ (esta vez nos saltamos las explicaciones, compruébese): $$ (B|I)= \left(\begin{array}{rrr|rrrr} 0 & 0 & \frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & -3 & \frac{5}{2} & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr|rrrr} 0 & 0 & \frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \sim_f $$ $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrr|rrrr} 1 & 3 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr|rrrr} 1 & 3 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) \sim_f $$ $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrr|rrrr} 1 & 3 & 0 & 0 & -4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrr|rrrr} 1 & 3 & 0 & 0 & -4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) \sim_f $$ $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrr|rrrr} 1 & 3 & 0 & 0 & -4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) $$ Obtenemos: $$ H= \left(\begin{array}{rrr} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) ; \;\;\; Q_2= \left(\begin{array}{rrrr} 0 & -4 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) $$ Comprobamos que $H=Q_2\cdot B$: $$ Q_2 \cdot B= \left(\begin{array}{rrrr} 0 & -4 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrr} 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\ -1 & -3 & \frac{5}{2}\\ 1 & 3 & -2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) = H $$ Así pues, tenemos $$ H = Q_1 \cdot A; \;\;\; H=Q_2 \cdot B $$ $$ B=Q_2^{-1}\cdot H=(Q_2^{-1}\cdot Q_1) \cdot A $$ y llamando $Q=Q_2^{-1}\cdot Q_1$, tenemos una matriz regular $Q$ de forma que $B=Q\cdot A$. Calculamos la inversa de $Q_2$: $$ (Q_2|I)= \left(\begin{array}{rrrr|rrrr} 0 & -4 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrrr|rrrr} 2 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -4 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) \sim_f $$ $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -4 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -4 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) \sim_f $$ $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -2 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -2 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) \sim_f $$ $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -2 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -2 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) \sim_f $$ $$ \sim_f \left(\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -2 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) $$ $$ Q_2^{-1}= \left(\begin{array}{rrrr} 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ -1 & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & -2 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) $$ y calculamos $Q=Q_2^{-1}\cdot Q_1$: $$ Q=Q_2^{-1}\cdot Q_1= \left(\begin{array}{rrrr} 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ -1 & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & -2 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrrr} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{3}{2} \\ -1 & 0 & 0 & -\frac{3}{2} \\ 4 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{11}{2} \\ -3 & 0 & 0 & -4 \\ \end{array}\right) $$ Finalmente, comprobamos que la matriz $Q$ obtenida realmente cumple lo que se buscaba ($B=Q\cdot A$): $$ Q \cdot A = \left(\begin{array}{rrrr} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{3}{2} \\ -1 & 0 & 0 & -\frac{3}{2} \\ 4 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{11}{2} \\ -3 & 0 & 0 & -4 \\ \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrr} -3 & -9 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 6 & -1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr} 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\ -1 & -3 & \frac{5}{2}\\ 1 & 3 & -2 \end{array}\right) = B $$