Álgebra lineal con métodos elementales. Resolución de ejercicios tipo
Página Facebook: Álgebra lineal con métodos elementales.
Para una matriz de orden 1, $A=(a)$, $det(A)=a$.
Para una matriz de orden 2, $$ A=\left(\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right) $$ $$det(A)= a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$$
Para el cálculo de determimantes de orden 3 se usa la regla nemotécnica llamada "Regla de Sarrus''.
Dada una matriz cuadrada $A=(a_{ij})$, llamamos matriz adjunta del elemento $a_{ij}$, y la nombramos $A_{ij}$, a la que se obtiene de $A$ eliminando la fila i y la columna j, es decir, aquellas donde se encuentra el elemento en cuestión.
Observamos que la matriz adjunta de un elemento tiene orden una unidad menor que la de partida, y sigue siendo cuadrada.
El adjunto del elemento $a_{ij}$ es un número, $\alpha_{ij}$, que se obtiene al calcular el determinante de la matriz adjunta del elemento y cambiarle o no el signo según la posición de dicho elemento. La fórmula es $$\alpha_{ij}=(-1)^{i+j}det(A_{ij })$$
Observamos que en el cálculo del adjunto de un elemento no interviene el valor del elemento, sólo su posición.
Utilizaremos la fórmula llamada desarrollo de Laplace del determinante. En primer lugar debemos elegir una fila o columna de la matriz, por ejemplo la fila 1. Entonces la fórmula es
Para calcular el determinante puede elegirse cualquier fila o columna. Será interesante usar aquella fila/columna que tenga una mayor cantidad de elementos 0, puesto que si vamos a multiplicar por 0 no será necesario calcular el adjunto de ese elemento.
Los determinantes tienen buenas propiedades respecto de las operaciones elementales:
Puesto que no hay ningún elemento 0 en la matriz, el cálculo del determinante directamente nos llevaría a calcular 4 determinantes de orden 3, uno por cada elemento de la fila o columna que elijamos. Por ejemplo, si elegimos la fila 1, tendríamos que calcular: $$ A_{11}=\left| \begin{array}{rrr} 1/2 & -1/3 & -1/5\\ 1/2 & 4/3 & 1/5\\ 1 & 2/3 & 11/5\\ \end{array} \right| ; \hspace .3cm A_{12}=\left| \begin{array}{rrr} -1 & -1/3 & -1/5\\ 1 & 4/3 & 1/5\\ 2 & 2/3 & 11/5\\ \end{array} \right| ;% \hspace .3cm $$ $$ A_{13}=\left| \begin{array}{rrr} -1 & 1/2 & -1/5\\ 1 & 1/2 & 1/5\\ 2 & 1 & 11/5\\ \end{array} \right| ; \hspace .3cm A_{14}=\left| \begin{array}{rrr} -1 & 1/2 & -1/3 \\ 1 & 1/2 & 4/3 \\ 2 & 1 & 2/3 \\ \end{array} \right| $$ y después sumar:
$det(A)= 1\cdotp (-1)^{1+1} \cdotp det(A_{11})+\frac{1}{2}\cdotp (-1)^{1+2} \cdotp det(A_{12})+ \frac{1}{3}\cdotp (-1)^{1+3} \cdotp det(A_{13})+ \frac{1}{5}\cdotp (-1)^{1+4} \cdotp det(A_{14})$.
Sin embargo, podemos utilizar operaciones elementales para simplificar el cálculo. Por ejemplo, utilizando o.e. de tipo II, podemos multiplicar la segunda columna por 2, la tercera por 3 y la cuarta por 5, con lo que nos quedarían números enteros. Eso sí, entonces el determinante quedaría multiplicado por $2\cdotp 3\cdotp 5$; para que no varíe debemos dividirlo por esa cantidad: $$ \left| \begin{array}{rrrr} 1 & 1/2 & 1/3 & 1/5\\ -1 & 1/2 & -1/3 & -1/5\\ 1 & 1/2 & 4/3 & 1/5\\ 2 & 1 & 2/3 & 11/5\\ \end{array} \right|= \frac{1}{2}\cdotp \frac{1}{3} \cdotp \frac{1}{5} \left| \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1\\ -1 & 1 & -1 & -1\\ 1 & 1 & 4 & 1\\ 2 & 2 & 2 & 11\\ \end{array} \right| $$
Ahora vamos a usar una operación elemental de tipo III que no cambia el valor del determinante; en este caso podríamos Sumar a la segunda fila la primera, y el determinante quedaría: $$ \left| \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 4 & 1\\ 2 & 2 & 2 & 11\\ \end{array} \right| $$
Por último, como el determinante puede calcularse desarrollando por cualquier fila o columna, podemos elegir la fila 2, que tiene 3 elementos 0, con lo cual el desarrollo quedaría $$ 2 \cdotp (-1)^{2+2}\left| \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1\\ 1 & 4 & 1\\ 2 & 2 & 11\\ \end{array} \right| $$
Para calcular el determimante de orden 3 que nos queda también pueden usarse operaciones elementales, por ejemplo podemos restar a la segunda y a la tercera columnas la primera, y queda: $$ 2 \cdotp (-1)^{2+2}\left| \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\ 1 & 3 & 0\\ 2 & 0 & 9\\ \end{array} \right| $$ $$ det(A)=\frac{9}{5} $$
El cálculo de determinantes permite una multitud de posibilidades de elección, cualquiera de ellas es buena con tal de que el resultado sea correcto, pero es mejor la que menos tiempo consuma y menos dificultad en las operaciones requiera.
NOTA: Es útil observar y recordar que el determinante de una matriz diagonal es el producto de los elementos de la diagonal. Es una consecuencia directa del uso del desarrollo del determinante por la primera fila en cada orden.
Este determinante puede calcularse usando la regla de Sarrus, aunque puede resultar tedioso y complicado realizar las operaciones. Un desarrollo directo sería $$(1-b)(2-a-b)(a+1-b)+(a-1)^2 -a(1-a)+(a-1)(2-a-b)-a(1-a)(1-b)+(1-a)(a+1-b)$$ donde habría que efectuar las operaciones, simplificar y después descomponer el resultado como producto de términos sencillos para poder decidir qué valores de los parámetros lo hacen 0. Veamos cómo el uso de operaciones elementales puede simplificar este proceso:
En primer lugar observamos que podemos hacer un 0 en la posición 13 mediante $F_3-F_2\to F_3$. $$ \left| \begin{array}{rrr} 1-b & 1-a & a-1\\ -1 & 2-a-b & a\\ -1 & 1-a & a+1-b\\ \end{array} \right|= \left| \begin{array}{rrr} 1-b & 1-a & a-1\\ -1 & 2-a-b & a\\ 0 & -1+b & 1-b\\ \end{array} \right| $$
Ahora, mediante la operación elemental de columnas $C_2+C_3 \to C_2$ obtenermos: $$\left| \begin{array}{rrr} 1-b & 1-a & a-1\\ -1 & 2-a-b & a\\ 0 & -1+b & 1-b\\ \end{array} \right|=\left| \begin{array}{rrr} 1-b & 0 & a-1\\ -1 & 2-b & a\\ 0 & 0 & 1-b\\ \end{array} \right| $$
Desarrollando el determinante por la tercera fila $$\left| \begin{array}{rrr} 1-b & 0 & a-1\\ -1 & 2-b & a\\ 0 & 0 & 1-b\\ \end{array} \right| = (1-b)\left| \begin{array}{rr} 1-b & 0 \\ -1 & 2-b \\ \end{array} \right| =(1-b)^2 (2-b) $$
La ventaja de esta forma de desarrollar el determinante es que obtenemos directamente una expresión en la que es fácil saber los valores de los parámetros para los que se hace cero, puesto que es un producto de factores lineales. En este caso se hace cero cuando $b=1$ o cuando $b=2$, sea cual sea el valor de $a$.