Álgebra lineal con métodos elementales. Resolución de ejercicios tipo

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Coordenadas. Dependencia lineal

Coordenadas

Dado un espacio vectorial $V$, que $B=\{u_{1},u_{2},\dots ,u_{n} \}$ sea base de $V$ significa que cada vector $x\in V$ se expresa de forma única como combinación lineal de los vectores de $B$, es decir: que existen escalares $x_1, \dots, x_n$ únicos de forma que $x=x_1 u_1 + \dots + x_n u_n$. En este caso se dice que el vector $x$ tiene coordenadas $(x_1, \dots, x_n)$ respecto de la base $B$ y se denota por $x=(x_1, \dots, x_n)_B$.

Así por ejemplo, si en el espacio vectorial $\mathcal{P}_2(\mathbb{K})$ de los polinomios de grado menor o igual que $2$, consideramos la base estándar $B=\{1,x,x^2 \}$, las coordenadas del vector $p(x)=3x^2+x+5$ respecto de esta base serán $p(x)=(5,1,3)_B$ ya que $p(x)= \mathbf{5} {\cdot} 1 + \mathbf{1} {\cdot} x + \mathbf{3} {\cdot} x^2$.

De esta forma, fijada la base $B$ de $V$, se establece un relación biunívoca entre los vectores de $V$ y sus coordenadas respecto de $B$ y es importante que sepamos pasar de una a otra expresión:

1. obtener las coordenadas de un vector

2. determinar un vector conocidas sus coordenadas.

Se considera en el espacio vectorial ${\mathbb{R}}^3$ la base $B'=\{(1,0,1), (0,2,0) , (0,0,3)\}$. Determinar el vector $x$ cuyas cordenadas respecto de $B'$ son $x=(2,1,2)_{B'}$.

$$ x=\mathbf{2} {\cdot} (1,0,1) + \mathbf{1} {\cdot} (0,2,0) + \mathbf{2} {\cdot} (0,0,3) = (2,2,8). $$

Se considera en el espacio vectorial ${\mathbb{R}}^3$ la base $B'=\{(1,0,1), (0,2,0) , (0,0,3)\}$. Determinar coordenadas respecto de $B'$ del vector $x=(5,4,2)$.

Este problema nos lleva a la resolución de un sistema de ecuaciones: Denotamos $x=(a,b,c)_{B'}$, entonces: $$ x=\mathbf{a} {\cdot} (1,0,1) + \mathbf{b} {\cdot} (0,2,0) + \mathbf{c} {\cdot} (0,0,3) = (a,2b,a+3c). $$ con lo cual $$ \left\{ \begin{array}{rcl} a&=&5\\ 2b&=&4\\ a+3c&=&2\\ \end{array} \right. $$ y obtenemos $a=5$, $b=2$, $c=-1$, es decir $x=(5,2,-1)_{B'}$.

Evidentemente, todo es más fácil cuando consideramos la base canónica de ${\mathbb{R}}^3$: $B=\{(1,0,0), (0,1,0) , (0,0,1)\}$ ya que $$ (2,2,-1)=\mathbf{2} {\cdot} (1,0,0) + \mathbf{2} {\cdot} (0,1,0) + \mathbf{-1} {\cdot} (0,0,1) $$ de hecho cada vector $x=(x_1, x_2, x_3)$ tiene coordenadas respecto de la base canónica $x=(x_1, x_2, x_3)_B$.

El uso de coordenadas nos permite estudiar distintos espacios vectoriales con las mismas técnicas, en un espacio vectorial de dimensión $4$ las coordenadas de un vector serán de la forma $u=(u_1,u_2,u_3,u_4)$ ya se trate de ${\mathbb{R}}^4$, del espacio de polinomios $\mathcal{P}_3(\mathbb{K})$, del espacio de matrices ${\mathfrak M}_2(\mathbb{R})$, o de cualquier otro.

Dependencia lineal

Dados vectores $u_1, \dots ,u_n$ el vector cero siempre se puede obtener como combinación lineal trivial de ellos: $$ 0=0{\cdot}u_1 + 0 {\cdot} u_2 + \dots +0 {\cdot}u_n $$ Los vectores son linealmente independientes si ésta (la trivial, con todos los coeficientes cero) es la única combinación lineal de ellos que da cero y linealmente dependientes en caso contrario. Por ejemplo, en $\mathbb{R}^3$: $$ 2{\cdot}(1,1,1) + (-1){\cdot} (2,2,3) + \frac{1}{2} {\cdot}(0,0,2)=(0,0,0) $$ por lo que los vectores $(1,1,1)$, $(2,2,3)$ y $(0,0,2)$ son linealmente dependientes. En el caso contrario, los vectores $(1,1,1)$, $(0,1,1)$ y $(0,0,2)$ son linealmente independientes ya que si se tuviese $$ a{\cdot}(1,1,1) + b{\cdot}(0,1,1) + c {\cdot}(0,0,2)=(0,0,0) $$ forzaría a que: $$ \left\{ \begin{array}{lcl} a &=&0\\ a +b &=&0\\ a +b +2c&=&0\\ \end{array}\right. $$ y claramente la única solución de este sistema es la trivial.

La forma más cómoda de comprobar si un conjunto de vectores es o no linealmente independiente es con el uso de coordenadas:

Un conjunto de vectores es linealmente independiente sí, y sólo si, la matriz cuyas columnas son las coordenadas (respecto de cualquier base) de estos vectores tiene rango igual al número de vectores.

Veamos algunos ejemplos:

En el espacio vectorial $\mathcal{P}_3(\mathbb{R})$ se consideran los vectores $p(x) = x^3+x^2+x+1$, $q(x)= 2x^2+1$ y $r(x)= x^3+2x^2$. Estudiar si son linealmente dependientes o independientes.

Consideramos la base estándar de $\mathcal{P}_3(\mathbb{R})$: $B=\{1,x,x^2, x^3 \}$. Respecto de esta base, las coordenadas de los vectores que nos dan son: $$ p(x)=(1,1,1,1)_B, \;\; q(x)=(1,0,2,0)_B, \;\; r(x)=(0,0,2,1)_B $$ La matriz cuyas columnas son estas coordenadas es: $$ A=\begin{pmatrix} 1 & 1& 0\\1 & 0& 0 \\1& 2& 2\\1 & 0 & 1\end{pmatrix} $$ cuya forma de Hermite por columnas es: $$ H=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\\ -1& 3/2 & 1/2 \end{pmatrix} $$ Así pues, el rango de $A$ es $3$ y los vectores son linealmente independientes.

En el espacio vectorial ${\mathfrak M}_2(\mathbb{R})$ se consideran los vectores $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2& 1 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2& 0 \end{pmatrix}$, $C=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2& 1 \end{pmatrix}$ y $D=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3& 1 \end{pmatrix}$. Estudiar si son linealmente dependientes o independientes.

Consideramos la base estándar de ${\mathfrak M}_2(\mathbb{R})$: $B=\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0& 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0& 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1& 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0& 1 \end{pmatrix} \}$. Respecto de esta base los vectores dados tienen coordenadas:
$A=(1,2,2,1)_B$
$B=(1,1,2,0)_B$
$C=(0,1,2,1)_B$
$D=(1,2,3,1)_B$
Consideramos la matriz cuyas columnas son estas coordenadas: $$ A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$ La forma de Hermite por columnas de $A$ es: $$ H=\begin{pmatrix} 1 & 0& 0& 0\\0 & 1& 0& 0 \\0& 0& 1& 0 \\-1& 1& 0& 0\end{pmatrix} $$ Por tanto, el rango de $A$ es 3 y en consecuencia los vectores son linealmente dependientes.