Álgebra lineal con métodos elementales. Resolución de ejercicios tipo
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La matriz del cambio de base de $B'$ a $B$ es la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores de $B'$ respecto de $B$ Por ejemplo, si tenemos las bases de $\mathbb{R}^3$: $B=\{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}$ (la canónica) y $B'=\{(1,0,1), (0,2,0) , (0,0,3)\}$, la matriz $P$ del cambio de base de $B'$ a $B$ se obtiene poniendo por columnas las coordenadas de los vectores de $B'$ respecto de $B$ (puesto que $B$ es la canónica estas coordenadas son fáciles de calcular): $$ P=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} $$
La ecuación del cambio de base de $B'$ a $B$ es $$ X=PX' $$ siendo $P$ la matriz del cambio de base de $B'$ a $B$. La ecuación matricial de nuestro ejemplo (de $B'$ a $B$) será: $$ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \\ x'_3 \end{pmatrix} ; \; X=PX' $$ se nota que el cambio es de $B'$ a $B$ en que introduciendo X' (coordenadas respecto de $B'$) se obtiene $X$ (las coordenadas respecto de B) al multiplicar por P.
Así si tenemos el vector $x$ de $\mathbb{R}^3$ que tiene coordenadas respecto de $B'$: $x=(2,1,2)_{B'}$, obtenemos: $$ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix} $$ es decir $x=(2,2,8)_B$.
Si tenemos el cambio de $B'$ a $B$ y necesitamos el cambio inverso de $B$ a $B'$, podemos razonar de la siguiente forma: $$X=PX' \Longrightarrow X'= P^{-1} X$$ Es decir, si la matriz del cambio $B' \longrightarrow B$ es $P$, entonces la matriz del cambio $B \longrightarrow B'$ es $P^{-1}$.
Si queremos calcular las coordenadas respecto de $B'$ del vector $x=(5,4,2)_B$, calculamos $P^{-1}$: $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &1 & 0 &0\\ 0 & 2 & 0 & 0 &1 & 0\\ 1 & 0 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \sim_f \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 &0\\ 0 & 1 & 0 & 0 &\frac{1}{2} & 0\\ 0 & 0 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \sim_f \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 &0\\ 0 & 1 & 0 & 0 &\frac{1}{2} & 0\\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix} $$La ecuación del cambio $B \longrightarrow B'$ queda: $$ \begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \\ x'_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 &\frac{1}{2} & 0\\ -\frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} $$ y las coordenadas respecto de $B'$ de nuestro vector $x=(5,4,2)_B$: $$ \begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \\ x'_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 &\frac{1}{2} & 0\\ -\frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} $$
El cambio fácil de calcular es el de $B'$ a $B$: $$ \begin{array}{lcl} x^3+x^2+x+1 &= & (1,1,1,1)_B \\ x^3+x^2+x &= & (0,1,1,1)_B \\ x^3+x^2 &= & (0,0,1,1)_B \\ x^3 &= & (0,0,0,1)_B \\ \end{array} $$ Así pues la matriz del cambio $B' \longrightarrow B$ (la matiz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores de $B'$ respecto de $B$) es $$ P= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} $$ y el cambio $B' \longrightarrow B$ tiene ecuaciones $X=PX'$. Ahora, el cambio que nos piden es el inverso $B \longrightarrow B'$ que tiene ecuaciones $X'=P^{-1}X$. Calculamos $P^{-1}$: $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} \sim_f \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1\\ \end{pmatrix} \sim_f $$ $$ \sim_f \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1\\ \end{pmatrix} \sim_f \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1\\ \end{pmatrix} $$ $$ P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ -1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 1\\ \end{pmatrix} $$ Y finalmente, la ecuación del cambio $B \longrightarrow B'$ es $$ \begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \\ x'_3 \\ x'_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ -1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} $$ El vector $p(x)=x^3+2x$ tiene coordenadas respecto de $B$: $p(x)=(0,2,0,1)$, usando el cambio $B \longrightarrow B'$ obtenemos: $$ \begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \\ x'_3 \\ x'_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ -1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} $$ $p(x)=(0,2,-2,1)_{B'}$.
Si tenemos las ecuaciones de los cambios de $B'$ a $B$ y de $B''$ a $B$, podemos obtener el cambio de $B'$ a $B''$: $$ \left.\begin{array}{rcl} X & = &PX'\\ X & = &QX'' \end{array}\right\} \Longrightarrow PX'=QX'' \Longrightarrow X'' = (Q^{-1} P) X' $$
Denotemos por $B$ la base canónica de $\mathbb{R}^3$. Entonces la ecuación del cambio $B' \longrightarrow B$ es: \begin{equation}\label{eq1} %\resizebox{!}{4mm}{ X=PX';\;\;\; P= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{equation} y la de $B'' \longrightarrow B$: \begin{equation}\label{eq2} X=QX'' ;\; Q= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}. \end{equation} Combinando ambas ecuaciones, obtenemos: $$ X'' = Q^{-1} X = Q^{-1} (P X')=(Q^{-1} P) X' $$ Es decir: la matriz del cambio de base $B' \longrightarrow B''$ es $Q^{-1}P$. Calculamos: $$ (Q|I)= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} \sim_f \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} \sim_f $$ $$ \sim_f \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} $$ $$ Q^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} $$ $$ Q^{-1}P= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2\\ 1 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix} $$ Y finalmente la ecuación del cambio $B' \longrightarrow B''$ queda: $$ \begin{pmatrix} x''_1 \\ x''_2 \\ x''_3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2\\ 1 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \\ x'_3 \\ \end{pmatrix} $$