Álgebra lineal con métodos elementales. Resolución de ejercicios tipo
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1. ⟨p(x),q(x)⟩,
2. ||p(x)||, ||q(x)||,
3. el ángulo que determinan p(x) y q(x)
1. Puede calcularse usando la fórmula del producto escalar, es decir, calculando ⟨p(x),q(x)⟩=∫10(1+6x−10x2)(1+2x+4x2)dx o bien usando coordenadas respecto de la base estándar, p(x)=(1,6,−10)B;q(x)=(1,2,4)B y la matriz de Gram respecto de esa misma base: ⟨p(x),q(x)⟩=(16−10)(11/21/31/21/31/41/31/41/5)(124)=0
2. La definición de módulo o norma de un vector es ||v||=+√⟨v,v⟩ entonces, ||p(x)||2=⟨p(x),p(x)⟩=(16−10)(11/21/31/21/31/41/31/41/5)(16−10)=7/3 Así ||p(x)||=√7/3. ||q(x)||2=⟨q(x),q(x)⟩=(124)(11/21/31/21/31/41/31/41/5)(124)=71/5 Por tanto ||q(x)||=√71/5.
3. El ángulo entre dos vectores u y v es el que verifica que cosα=⟨u,v⟩||u||⋅||v|| y 0≤α≤π. En este caso será cosα=⟨p(x),q(x)⟩||p(x)||⋅||q(x)||=0 Tenemos entonces que los vectores forman un ángulo de 90 grados, por tanto son ortogonales.