Cálculo de una base ortogonal usando el método de Gram-Schmidt.
Base ortogonal
Dado un producto escalar en $V $ y una base $B=\{e_1, e_2, \dots , e_n\}$ de $V$, decimos que
B es una base ortogonal si sus vectores son ortogonales dos a dos, es decir, $\langle e_i,e_j \rangle = 0$ siempre que $i\neq j$.
A partir de una base cualquiera puede calcularse una base ortogonal utilizando el método de Gram-Schmidt, que consiste en ir
modificando los vectores dados convenientemente para que cada uno sea ortogonal con los anteriores. Si llamamos $\{u_1,u_2, \dots , u_n\}$ a la base de partida,
entonces las fórmulas
$$e_1=u_1$$
$$e_i=u_i+\lambda_{i,1} e_1 + \dots +\lambda_{i,i-1}e_{i-1}; \; \; \lambda_{i,j}= - \frac{\langle u_i, e_j \rangle}{||e_j||^2}$$
nos proporcionan una base ortogonal $\{e_1, e_2, \dots ,e_n \}$.
En $\mathbb{R}^3$ con el producto escalar usual, calcular una base ortogonal a partir de los vectores
$\{u_1=(1,1,-1), u_2=(1,-1,1),u_3=(-1,1,1) \}$.
Tenemos las fórmulas
$$\begin{array}{l}
e_1= u_1 =(1,1,-1)\\
e_2 = u_2 + \lambda_{2,1}e_1= (1,-1,1)+ \lambda_{2,1}(1,1,-1)\\
e_3= u_3 +\lambda_{3,1}e_1 + \lambda_{3,2}e_2\\
\end{array}
$$
calculamos los $\lambda_{i,j}$:
$$\begin{array}{l}
\lambda_{2,1}= - \frac{\langle u_2, e_1 \rangle}{||e_1||^2}= \frac{\langle (1,-1,1), (1,1,-1) \rangle}{||(1,1,-1)||^2}= - \frac{-1}{3}= 1/3\\
\end{array}
$$
y sustituimos puesto que es necesario conocer $e_2$ para calcular $e_3$.
$$e_2= (1,-1,1)+(1/3)(1,1,-1)=(4/3,-2/3,2/3)$$
ahora continuamos:
$$\begin{array}{l}
\lambda_{3,1}= - \frac{\langle u_3, e_1 \rangle}{||e_1||^2}= \frac{\langle (-1,1,1), (1,1,-1) \rangle}{||(1,1,-1)||^2}= - \frac{-1}{3}= 1/3\\
\lambda_{3,2}= - \frac{\langle u_3, e_2 \rangle}{||e_2||^2}= \frac{\langle (-1,1,1), (4/3,-2/3,2/3) \rangle}{||(4/3,-2/3,2/3)||^2}=
- \frac{-4/3}{24/9}= 1/2\\
\end{array}
$$
y tenemos
$$e_3= (-1,1,1)+ (1/3)(1,1,-1)+(1/2)(4/3,-2/3,2/3)=(0,1,1)$$
Por tanto la base ortogonal obtenida es
$$\{ (1,1,-1),(4/3,-2/3,2/3), (0,1,1)\}$$
En $\mathbb{R}^3$ se considera el producto escalar que, con respecto de la base canónica, viene dado por la matriz de Gram
$$ G=\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 2\\
\end{pmatrix}
$$
Calcular una base ortogonal a partir de los vectores $\{(1,-1,0),(0,1,1),(0,0,1)\}$.
El procedimiento es idéntico al ejemplo anterior, salvo que ahora, cada vez que tengamos que
calcular un producto escalar hay que utilizar la matriz $G$. Por ejemplo para calcular $||e_1||^2=\langle e_1, e_1 \rangle $ tendremos el producto:
$$\langle e_1, e_1 \rangle \begin{pmatrix}
1 & -1 & 0\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 2\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\
-1\\
0
\end{pmatrix}= 2$$
Comenzamos renombrando al primer vector:
$$e_1=(1,-1,0)$$
Usamos la fórmula para calcular $e_2$
$$\begin{array}{l}
e_2 = u_2 + \lambda_{2,1}e_1= (0,1,1)+ \lambda_{2,1}(1,-1,0)\\
\end{array}
$$
calculamos $\lambda_{2,1}$:
$$
\lambda_{2,1}= - \frac{\langle u_2, e_1 \rangle}{||e_1||^2}= \frac{\langle (0,1,1), (1,-1,0) \rangle}{2}
$$
y como
$$\langle (0,1,1),(1,-1,0) \rangle =\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 2\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\
-1\\
0
\end{pmatrix}= -1$$
entonces $\lambda_{2,1}= -1/2$ y
$$e_2 = (0,1,1) + (1/2)(1,-1,0)= (1/2,1/2,1)$$
Ahora realizamos los cálculos necesarios para $\lambda_{3,1}$ y $\lambda_{3,2}$:
$$
\langle u_3, e_1 \rangle =\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 2\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\
-1\\
0
\end{pmatrix}=0
\hspace{1cm}
\langle u_3, e_2 \rangle =\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 2\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1/2 \\
1/2\\
1
\end{pmatrix}=3
$$
$$
\langle e_2, e_2 \rangle =\begin{pmatrix}
1/2 & 1/2 & 1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 2\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1/2 \\
1/2\\
1
\end{pmatrix}= 22/4=11/2 $$
$$\lambda_{3,1}= - \frac{ 0}{2}=0; \hspace{.8cm} \lambda_{3,2}= - \frac{3}{11/2}= -6/11$$
y tenemos
$$e_3= (0,0,1)+ 0(1,-1,0)-(6/11)(1/2,1/2,1)=(-3/11,-3/11,5/11)$$
Por tanto la base ortogonal obtenida es
$$\{ (1,-1,0),(1/2,1/2,1), (-3/11,-3/11,5/11)\}$$