Consideremos un espacio vectorial euclídeo $(V, <\; , \; >)$ y en él un subespacio $U$. El conjunto de los vectores de $V$ que son ortogonales a todos los de $U$:
$$
U^{\perp} = \{ x \in V | < x, u> = 0\; \forall u \in U \}
$$
es un subespacio de $V$ que es complementario de $U$ ($V=U\oplus U^{\perp}$) y recibe el nombre de complemento ortogonal de $U$. En particular $dim(U^{\perp})= dim (V) -dim(U)$.
Por ejemplo, si consideramos $\mathbb{R}^3$ con el producto escalar usual y en él el subespacio $U:\{ z=0$, es claro que un vector $(a,b,c)$ está en $U^{\perp}$ si, y sólo si, a=b=0, es decir $U^{\perp}=L((0,0,1)$.
Para determinar el complemento ortogonal de un subespacio $U$ basta tener en cuenta que un vector $x$ es ortogonal a todos los de $U$ sí, y sólo sí, es ortogonal a los vectores de una base de $U$, por tanto a partir de una base de $U$ podemos obtener unas cartesianas de $U^{\perp}$.
Se considera en $\mathbb{R}^3$ el producto escalar cuya matriz de Gram respecto de la base canónica es
$\begin{pmatrix}1& 0 & 0\\ 0& 1 & 1 \\ 0 &1 & 2\end{pmatrix}$. Para el subespacio $U:\{ x+y=0$, determinar una base de $U^{\perp}$.
Primero obtenemos una base de $U$:
$$
\{ x+y=0 ; \hspace{1cm} \left\{\begin{array}{c} x= -\lambda \\ y =\lambda \\z=\gamma \end{array}\right.; \hspace{1cm}
U \hbox{ tiene base } \{(-1,1,0), (0,0,1)\}
$$
Ahora, para un vector cualquiera $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ se tiene que:
$$
(x,y,z) \in U^{\perp}
\Longleftrightarrow
\left\{\begin{array}{c}
<(x,y,z), (-1,1,0)>=0 \\
<(x,y,z), (0,0,1)>=0
\end{array}\right.
\Longleftrightarrow
\left\{\begin{array}{c}
\begin{pmatrix} x & y & z\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1& 0 & 0\\ 0& 1 & 1 \\ 0 &1 & 2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=0 \\
\begin{pmatrix} x & y & z\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1& 0 & 0\\ 0& 1 & 1 \\ 0 &1 & 2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} =0 \\
\end{array}\right.
\Longleftrightarrow
$$
$$
\Longleftrightarrow
\left\{\begin{array}{c}
\begin{pmatrix} x & y & z\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} =0 \\
\begin{pmatrix} x & y & z\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} =0 \\
\end{array}\right.
\Longleftrightarrow
\left\{\begin{array}{c}
-x+y+z=0 \\ y+2z=0
\end{array}\right.
$$
Así pues unas cartesianas de $U^{\perp}$ son
$\left\{\begin{array}{c}
-x+y+z=0 \\ y+2z=0
\end{array}\right.$.
Para obtener una base, seguimos el proceso habitual:
$$
\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{pmatrix}
\sim_f
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{pmatrix}
$$
las cartesianas obtenidas son equivalentes a
$\left\{\begin{array}{c}
x+z=0 \\ y+2z=0
\end{array}\right.$ y unas paramétricas de $U^{\perp}$ son:
$$
\left\{ \begin{array}{rcl}
x & = & -\lambda \\
y & = & -2\lambda \\
z & = & \lambda \\
\end{array}\right.
$$
y por tanto una base de $U^{\perp}$ es $\{(-1,-2,1)\}$.
Comprobemos el resultado:
1. Puesto que $U$ es un subespacio de $\mathbb{R}^3$ de dimensión $2$, la dimensión de $U^{\perp}$ ha de ser $1$.
2. Comprobemos que $(-1,-2,1)$ es realmente ortogonal a $U$:
Proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio
Puesto que $V=U \oplus U^{\perp}$, cada vector $x$ de $V$ se expresa de forma única como suma de un vector de $U$ y uno de $U^{\perp}$:
$$
x=u+w; \; u\in U, \; w \in U^{\perp}
$$
A la parte en $U$ se le llama la proyección ortogonal de $x$ sobre $U$ y se denota $u=p_U(x)$. Es fácil ver que la otra parte $w$ es la proyección de $x$ sobre $U^{\perp}$. La proyección de $x$ sobre $U$ es, por tanto, el
único vector $u$ verificando simultáneamente que $u \in U$ y que $(x-u) \perp U$.
Puesto que hemos visto antes cómo descomponer un vector de una suma directa, un primer método para calcular una proyección ortogonal parte de unas cartesianas de $U$ y unas de $U^{\perp}$ para calcular la descomposición
Se considera en $\mathbb{R}^3$ el producto escalar cuya matriz de Gram respecto de la base canónica es
$\begin{pmatrix}1& 0 & 0\\ 0& 1 & 1 \\ 0 &1 & 2\end{pmatrix}$. Determinar la proyección del vector $(1,2,1)$ sobre el subespacio $U:\{ x+y=0$.
Según hemos visto antes unas cartesianas de $U$ son $\{ x+y=0$ y unas de $U^{\perp}: \left\{\begin{array}{c}
x+z=0 \\ y+2z=0
\end{array}\right.$
El vector $(1,2,1)$ se descompondrá en la forma:
$$
(1,2,1)= (a,b,c) + (1-a, 2-b,1-c); \hbox{ con } (a,b,c) \in U; \;\;\; (1-a, 2-b,1-c)\in U^{\perp}
$$
$(a,b,c)$ ha de cumplir la cartesiana de $U$ y por tanto: $a+b=0$
$(1-a, 2-b,1-c)$ ha de cumplir las cartesianas de $U^{\perp}$ y por tanto:
$\left\{ \begin{array}{c}(1-a)+(1-c)=0 \\ (2-b)+2(1-c)=0 \end{array}\right.
\Longleftrightarrow
\left\{ \begin{array}{c}a+c=2 \\ b+2c=4 \end{array}\right.
$
Resolviendo el sistema compatible determinado:
$$
\left\{ \begin{array}{c}a+b=0 \\ a+c=2 \\ b+2c=4 \end{array}\right.
$$
obtenemos $a= 0$, $b=0 $, $c= 2$.
es decir:
$(1,2,1)= (0,0,2) + (1, 2,-1); \hbox{ con } (0,0,2) \in U; \;\;\; (1, 2,-1)\in U^{\perp}$
y por tanto:
Hay otra posibilidad para el cálculo de proyecciones ortogonales sin necesidad de calcular previamente el complemento ortogonal, que está basada en los coeficientes de Fourier. Se usa el siguiente teorema:
Sea $(V, <\;\; ,\;\; >)$ un espacio vectorial euclídeo y sean $U$
un subespacio de $V$ y $\{e_1,\dots ,e_r\}$ una base ortogonal de
$U$. Entonces, dado un vector $v \in V$ se verifica:
$$
p_U(x)= \frac{< x,e_1>}{|| e_1 ||^2} e_1 + \dots + \frac{< x,e_r>}{|| e_r ||^2} e_r
$$
El inconveniente de este método es que se necesita una base ortogonal del subespacio y a menudo conlleva trabajo calcularla.
Se considera en $\mathbb{R}^3$ el producto escalar cuya mariz de Gram respecto de la base canónica es
$\begin{pmatrix}1& 0 & 0\\ 0& 1 & 1 \\ 0 &1 & 2\end{pmatrix}$. Determinar la proyección del vector $(1,2,1)$ sobre el subespacio $U:\{ x+y=0$.
Según hemos visto una base de $U$ es $\{(-1,1,0), (0,0,1)\}$, veamos si es ortogonal:
$$
<(-1,1,0), (0,0,1)>=
\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1& 0 & 0\\ 0& 1 & 1 \\ 0 &1 & 2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=
1
$$
luego no es ortogonal.
Usando Gram-Schmidt, ponemos $u_1=(0,0,1)$, $u_2 = (-1,1,0)$ y obtenemos:
Usando que $x=p_U(x) + p_{U^{\perp}}(x)$, para conocer la proyección de un vector $x$ sobre $U$ es suficiente conocer su proyección sobre $U^{\perp}$ ya que:
$$
p_U(x) = x - p_{U^{\perp}}(x)
$$
Esto es práctico en el caso en que es más fácil calcular la proyección sobre $U^{\perp}$, por ejemplo cuando la dimensión de $U^{\perp}$ vale $1$ ya que entonces cualquier base de $U^{\perp}$ será ortogonal al tener un único vector.
Se considera en $\mathbb{R}^3$ el producto escalar cuya mariz de Gram respecto de la base canónica es
$\begin{pmatrix}1& 0 & 0\\ 0& 1 & 1 \\ 0 &1 & 2\end{pmatrix}$. Determinar la proyección del vector $(1,2,1)$ sobre el subespacio $U:\{ x+y=0$.
Según hemos visto antes, una base de $U^{\perp}$ es $\{e_1=(-1,-2,1)\}$ y es obviamente ortogonal al contener un sólo vector. Aplicando la fórmula:
$$
p_{U^{\perp}}(x)= \frac{< x,e_1>}{|| e_1 ||^2} e_1
$$